2024　関西大学　全学日程文系2月1日実施

$f(x)=x^4-3x^3+2x^2-3x+1$

と定める．また，$0$でない実数$x$に対して，$t=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$とする．

(1)　$x$を$0$でない実数としたとき，$\left|t\right|\geqq 2$であることを示せ．

(2)　$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$を$t$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{f(x)}{x^2}}$を$t$を用いて表せ．

(4)　$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．

　$3$次関数$f(x)$が

$f(x)=x^3-{\displaystyle {\int }_0^2}x|f(t)|\mathit{dt}$$\cdots \text{(＊)}$

を満たすとする．$c={\displaystyle {\int }_0^2}|f(t)|\mathit{dt}$とおく．

　$c\geqq 4$のとき

$c={\displaystyle {\int }_0^2}(\text{①})\mathit{dt}$

が成り立ち，$c=\text{②}$となる．

　$0<c<4$のとき

$c={\displaystyle {\int }_0^{\text{③}}}(\text{①})\mathit{dt}$$+{\displaystyle {\int }_{\text{③}}^2}(\text{④})\mathit{dt}$

が成り立ち，$c$は$2$次方程式$\text{⑤}=0$を満たし，$c=\text{⑥}$となる．

　よって，式(＊)を満たす$3$次関数$f(x)$は

$x^3-\text{②}x$または$x^3-\text{⑥}x$

となる．

$\left|\overrightarrow{a}\right|=4^x\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}\cdot 2^x\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=8^x$

を満たしている．次の$$をうめよ．ただし，$\text{⑤}\text{，}$$\text{⑥}$は数値でうめよ．

　${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^2-{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$を内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて表すと$\text{①}$である．$4^x=X$とおくと，${\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$は$X$を用いて${\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=\text{②}$と表される．同様に，${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2\text{，}$${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^2$を$X$を用いて表すことにより，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$は$X$を用いて

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{\text{③}}{2}}$

と表されることがわかる．したがって，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$が$0\leqq \theta <90\mathrm{°}$となるような$x$の範囲は$\text{④}$である．

　$x={\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_2(\sqrt{5}-1)$のとき$X=\text{⑤}$であり，$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$が垂直となるとき$t=\text{⑥}$である．