2024　立命館大　理系学部共通テスト利用2月8日実施

【１】　$a$を整数とし，$3$つの集合

$A=\{-3,1,a-6,$$-a^2-a+40,$$a^3-5a^2+3a-10\}$

$B=\{-2,1,$$a^2-10a+29,$$2a^2-8a-5\}$

$C=\{-3a^2+7a+18,$$-a^2+3a+5\}$

を考える．

〔1〕$A\cap B=\{1,5\}$のとき，$a=\text{ア}$である．このとき，$A\cup B$$=\{-3,$$-2,$$\text{イ},$$\text{ウ},$$\text{エ},$$\text{オ},$$\text{カ}\}$である．ただし，$\text{イ}$から$\text{カ}$は小さい順に数値で答えよ．

〔2〕$B\cap C=\{1,k\}$$\text{（}k$は整数で$k\ne 1\text{）}$のとき，$a=\text{キ}\text{，}$$k=\text{ク}$である．このとき，$B\cup C$$=\{\text{ケ},$$\text{コ},$$\text{サ},$$\text{シ}\}$である．ただし，$\text{ケ}$から$\text{シ}$は小さい順に数値で答えよ．

〔3〕$A\cap C$の要素の個数が$1$で，かつ$B\cap C=\varnothing$のとき，$a=\text{ス}$である．このとき，$A\cup B\cup C$の要素の個数は$\text{セ}$である．

【２】　$i$は虚数単位である．複素数の偏角は$0$以上かつ$2\pi$未満とする．以下，$\text{ア}$から$\text{コ}$は実数で答えよ．

　$\alpha =2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i\text{，}$$\beta =9(\cos {\displaystyle \frac{5}{12}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{5}{12}}\pi )$とする．$\alpha \beta$の絶対値は$\text{ア}\text{，}$偏角は$\text{イ}$である．また${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の絶対値は$\text{ウ}\text{，}$偏角は$\text{エ}$である．

　方程式$z^4=\alpha \beta$の解のうち，実部が最も大きい解を$z_1\text{，}$$2$番目に大きい解を$z_2$とする．三角関数を用いずに$z_1$と$z_2$を表すと$z_1=\text{オ}+\text{カ}i\text{，}$$z_2=\text{キ}-\text{ク}i$である．

　複素数平面上において$z_1$と$\alpha \beta$に対応する点をそれぞれ$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とする．複素数平面上のある点$\mathrm{S}$を中心に点$\mathrm{Q}$を${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$だけ回転させると点$\mathrm{R}$と一致した．このとき点$\mathrm{S}$を表す複素数は${\displaystyle \frac{\text{ケ}}{4}}+{\displaystyle \frac{\text{コ}}{4}}i$である．

　次に複素数平面上において原点を中心とする半径$\left|z_2\right|$の円上を動く点を表す複素数を$v$とする．ここで$w=x+yi$$\text{（}x\text{，}$$y$は実数）が$w=v+{\displaystyle \frac{9}{v}}$を満たすとき，$w$に対応する点が描く図形は$x$と$y$を用いた方程式$\text{サ}=1$で表される．

【３】　$a$を正の整数とする．座標平面上で，直線$y=x$を$l_1\text{，}$直線$y=-x+2$を$l_2\text{，}$放物線$y=-{\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2+x+{\displaystyle \frac{a}{2}}$を$C$とする．

　$2$つの直線$l_1\text{，}$$l_2$の交点を$\mathrm{P}$とすると，点$\mathrm{P}$の座標は$(\text{ア},\text{ア})$である．また，放物線$C$も点$\mathrm{P}$を通る．直線$l_1$と放物線$C$との交点のうち点$\mathrm{P}$とは異なる点を$\mathrm{Q}$とする．このとき点$\mathrm{Q}$の座標は$(\text{イ},\text{イ})$である．直線$l_2$と放物線$C$が点$\mathrm{P}$とは異なる点$\mathrm{R}$で交わるとき，点$\mathrm{R}$の座標は$a$を用いて表すと$(\text{ウ},\text{エ})$である．

　ここで線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\overline{\mathrm{PQ}}\text{，}$線分$\mathrm{PR}$の長さを$\overline{\mathrm{PR}}$とすると$\overline{\mathrm{PQ}}=\text{オ}\text{，}$$\overline{\mathrm{PR}}=\text{カ}$である．ただし，$\text{カ}$は$a$を用いて答えよ．さらに，$\overline{\mathrm{PQ}}\leqq 2\overline{\mathrm{PR}}$かつ$\overline{\mathrm{PR}}\leqq 2\overline{\mathrm{PQ}}$が成り立つとする．このとき正の整数$a$がとり得る最小の値は$\text{キ}$である．

　以後，$a=\text{キ}$とし，解答には$a$を用いないものとする．

　このとき$\mathrm{▵PQR}$の重心と外心との間の距離は$\text{ク}$である．また$\mathrm{▵PQR}$の内接円の半径は$\text{ケ}$である．

　線分$\mathrm{PQ}$上で点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とは異なる点を$\mathrm{D}(t,t)$とする．また，線分$\mathrm{PR}$上で点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{R}$とは異なる点を$\mathrm{E}(u,-u+2)$とする．$\mathrm{▵PQR}$の面積が$\mathrm{▵PDE}$の面積の$2$倍であるとき，$u$は$t$を用いて$u=\text{コ}$と表される．このとき線分$\mathrm{DE}$の長さの$2$乗を$t$の関数$f(t)$とおく．$f(t)$が最小となるときの$t$の値は$\text{サ}$であり，$f(t)$の最小値は$\text{シ}$である．

【４】　連続な関数$f(x)$は，$2$を周期とする周期関数とする．すなわち，すべての$x$に対して$f(x+2)=f(x)$が成り立つ．ここで$-1\leqq x\leqq 1$において$f(x)=|2x|$とする．

〔1〕$f(-2)=\text{ア}\text{，}$$f(2)=\text{イ}\text{，}$$f(3)=\text{ウ}\text{，}$$f(4)=\text{エ}$であり，$-2\leqq x\leqq 4$において，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積は$\text{オ}$である．ただし，$\text{ア}$から$\text{オ}$は数値で答えよ．

〔2〕${\displaystyle \int }x{e}^{-x}\mathit{dx}=\text{カ}+C$$\text{（}C$は積分定数）である．必要ならばこの不定積分を活用して，以下の問いに答えよ．

(a)　${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{e}^{-x}f(x)\mathit{dx}=\text{キ}$である．

(b)　$1\leqq x\leqq 2$において，$f(x)$は絶対値を用いずに$f(x)=\text{ク}$と表されるので

${\displaystyle {\int }_0^2}{e}^{-x}f(x)\mathit{dx}=2{(\text{ケ})}^2$

である．

(c)　整数$k$に対して

${\displaystyle {\int }_{2k}^{2k+2}}{e}^{-x}f(x)\mathit{dx}=\text{コ}\times 2{(\text{ケ})}^2$

である．

(d)　$n$を自然数とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{2n}}n{e}^{-nx}f(nx)\mathit{dx}$を考える．${\displaystyle {\int }_0^{2n}}n{e}^{-nx}f(nx)\mathit{dx}$は，$t=nx$と置換し，(c)の結果を用いると，等比数列の和で表される．したがって，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{2n}}n{e}^{-nx}f(nx)\mathit{dx}=\text{サ}$である．