2024　立命館大　全学部統一文系2月4日実施

【１】

〔1〕$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$1$つのサイコロを同時に投げ，出た目の数によって次のルールにしたがって勝敗を決めるゲームがある．

【ルール】

$\text{①}$　出た目が異なるとき，出た目の数が大きい方が$1$ポイントを獲得してさらにゲームを続ける．ただし，どちらかに$1$の目が出たときは，$1$の目が出なかった方の勝ちとし，ゲームを終了する．

$\text{②}$　出た目が同じとき，引き分けとしてどちらもポイントを獲得せずさらにゲームを続ける．ただし，両方とも出た目が$1$のときは勝ち負けはなしとし，ゲームを終了する．

$\text{③}$　$\text{①}\text{，}$$\text{②}$でゲームを続けるときは，先に$2$ポイントを獲得した方を勝ちとし，ゲームを終了する．

(1)　$2$人がサイコロを投げて，$1$回目で，$\mathrm{A}$の勝ちが決まる確率は$\text{ア}\text{，}$勝ち負けはなしとしゲームが終了する確率は$\text{イ}\text{，}$引き分けとなりゲームが続く確率は$\text{ウ}\text{，}$$\mathrm{A}$がポイントを取りゲームが続く確率は$\text{エ}$である．

(2)　$2$人がサイコロを投げて，$2$回目で$\mathrm{A}$の勝ちが決まる確率は$\text{オ}$である．

(3)　$2$人が$3$回目のサイコロを投げる前までに，$\mathrm{B}$の勝ちが決まる確率は$\text{カ}$である．

【１】

〔2〕(1)　次の$7$個の数

$2^{-\frac{3}{4}}\text{，}$$2^{\frac{1}{2}}\text{．}$$2^{\frac{3}{2}}\text{．}$${0.5}^{-\frac{3}{4}}\text{，}$${0.5}^{\frac{1}{3}}\text{，}$${\log }_{2}8\text{，}$${\log }_{0.5}{\displaystyle \frac{3}{2}}$

を小さい方から順に並べたとき，小さい方から$3$番目の数は$\text{キ}\text{，}$大きい方から$2$番目の数は$\text{ク}$である．また，$2$より大きい数は$\text{ケ}$個あり，$1$より小さい数は，$\text{コ}$個ある．

【１】

〔2〕(2)　実数$x\text{，}$$y$が$2^x=5^y$と${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たしているとき，$2^x=\text{サ}$である．また，${(\sqrt{5})}^y=\text{シ}$となる．

【１】

〔3〕$a$を定数とする．$3$次関数$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax$がある．

(1)　$a=3$のとき，$f(x)$は$x=\text{ス}$で極大値$\text{セ}$をとり，$x=\text{ソ}$で極小値$\text{タ}$をとる．

(2)　$f(x)$の極大値が$4$であるとき，$a$の値は，$\text{チ}$と$\text{ツ}$である．ただし，$\text{チ}<\text{ツ}$である．

(3)　$f(x)$の極小値が$2$より小さいとき，$a$の値の範囲は，$a<\text{テ}\text{，}$$\text{ト}<a$である．

【２】　$\mathrm{R}$市には，市営植物園がある．

〔1〕植物園には，図１に示すように東西$9$本，南北$7$本の通路がある．地点$\mathrm{B}$にある展望台からは，植物園全体を観ることができる．地点$\mathrm{C}$の周りには，噴水がある．ハーブエリア（図の灰色の部分）内のバラのアーチを通り抜ける通路上に地点$\mathrm{D}$がある．ハーブエリア内の通路もすべて通ることができる．

　出入口がある地点$\mathrm{A}$から地点$\mathrm{B}$まで行く最短経路は$\text{ア}$通りで，地点$\mathrm{A}$から地点$\mathrm{C}$を通って地点$\mathrm{B}$まで行く最短経路は$\text{イ}$通りある．地点$\mathrm{A}$から地点$\mathrm{D}$を通り，地点$\mathrm{B}$まで行く最短経路は$\text{ウ}$通りある．地点$\mathrm{D}$を通らないで地点$\mathrm{A}$から地点$\mathrm{B}$まで行く最短経路は$\text{エ}$通りある．また，地点$\mathrm{C}$を通らないで，さらに地点$\mathrm{D}$も通らないで地点$\mathrm{A}$から地点$\mathrm{B}$まで行く最短経路は$\text{オ}$通りある．

〔2〕植物園をリニューアルすることになり，図２に示すような池と売店を作った．その池の中央付近に塔を設置することになった．そのことでハーブエリアから塔をバックに写真を撮影する来場者が増えたが，池を作ったことから，この付近の通路は図２に示すようになった．そのため地点$\mathrm{A}$から地点$\mathrm{D}$のバラのアーチを通り展望台$\mathrm{B}$に行く最短経路は$\text{カ}$通りになった．

　撮影のバックになっている塔の水面からの高さを求めよう．この塔の先端$\mathrm{T}$から真下に下ろした水面との交点を$\mathrm{G}$とする．売店のある地点$\mathrm{E}$から$\mathrm{T}$を見上げた角度（仰角）は$15$度であり，地点$\mathrm{E}$から塔へ$50\mathrm{m}$近づいた地点$\mathrm{F}$から$\mathrm{T}$を見上げた角度は$45$度であった．ここでは水面と地面は水平で，$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$は一直線上にあるとする．測定者の目の高さが$1.5\mathrm{m}$であるとき，塔の高さは$\text{キ}\mathrm{m}$である．ただし，$\text{キ}$は，$\tan 15\mathrm{°}=0.268$として計算し小数第$2$位を四捨五入すること．

〔3〕次に，来場者が増えたこともあり，地点$\mathrm{E}$の売店において植物園で栽培したハーブの茶を販売することにした．ハーブ茶$1$箱$1000$円で販売したところ$1$日当たり$150$箱，$1200$円にすると$1$日当たり$90$箱売れた．

　ハーブ茶$1$箱当たりの価格を$x$円$\text{（}500\leqq x\leqq 1400\text{）}$とすると，$1$日に売れる個数$y$は，$x$の$1$次関数

$y=\text{ク}x+\text{ケ}$

で表すことができる．

　材料費はハーブ茶$1$箱当たり$700$円で，人件費が$1$日当たり$8000$円かかる．ハーブ茶の販売による店の$1$日当たりの利益$z$円は，売上金額から材料費と人件費を引くことで求められる．また売上金額は，ハーブ茶$1$箱当たりの価格と，売れた個数$y$の積で計算できる．よって，$z$を$x$の式で表すと

$z=\text{コ}{x}^2+\text{サ}x-\text{シ}$

となる．

　この$1$日当たりの利益$z$円を最大にするには，ハーブ茶$1$箱当たりの価格$x$を$\text{ス}$円とすればよく，そのときの利益$z$は$\text{セ}$円となることが分かる．

【３】　$t$を$0<t<2$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，$3$点$\mathrm{A}(t,0)\text{，}$$\mathrm{B}(2t,2(t+2))\text{，}$$\mathrm{C}(t-2,0)$と直線$l\text{：}y=2x$がある．さらに，点$\mathrm{D}$を線分$\mathrm{AB}$と直線$l$との交点とし，点$\mathrm{P}$を直線$l$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点とする．次の問いに答えよ．

〔1〕直線$\mathrm{AB}$の方程式を求め，点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

〔2〕点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

〔3〕直線$y=2(x-t+2)$は$2$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通り直線$l$に平行な直線である．点$\mathrm{P}$が不等式$y>2(x-t+2)$を満たす領域に存在するとき，$t$の値の範囲を求めよ．

〔4〕$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S\text{，}$$\mathrm{▵ODP}$の面積を$S_1$とするとき，面積比${\displaystyle \frac{S_1}{S}}$を求めよ．

〔5〕〔3〕の条件のもとで，$\mathrm{▵ODP}$と$\mathrm{▵ABC}$の共通部分の台形の面積を$S_2$とする．このとき$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$との面積比${\displaystyle \frac{S_2}{S}}$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．