2024　立命館大　全学統一理系2月3日実施

【１】　$a\text{，}$$b$を実数の定数とする．$3$次多項式$f(x)=x^3+x^2-ax-b$について，$f(x)$を$x-1$で割った商は$\text{ア}\text{，}$余りは$\text{イ}$である．$f(x)$が$x-1$で割り切れるための$a\text{，}$$b$が満たす必要十分条件は$\text{ウ}$である．特に，$f(x)$が$x^2-1$で割り切れるとき，$(a,b)=\text{エ}$となる．また，条件$\text{ウ}$の下で方程式$f(x)=0$が重解をもつための条件は$\text{オ}$である．

　次に関数$y=f(x)=x^3+x^2-ax-b$のグラフ$C$と関数$y=x-1$のグラフ$L$を考える．条件$\text{ウ}$を仮定すると，$C$と$L$が異なる$3$点で交わるための条件は$a>\text{カ}$かつ$a\ne \text{キ}$である．このとき，$3$つの共有点の$x$座標を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$とし，$p<q<r$とする．$q<1$であるための必要十分条件は$\text{ク}$である．この条件下で，$p\leqq x\leqq q$の範囲で$C$と$L$に囲まれる部分の面積と$q\leqq x\leqq r$の範囲で$C$と$L$に囲まれる部分の面積が等しいのは$a=\text{ケ}$のときである．ただし，$\text{カ}$以降は$b$を用いずに解答せよ．

【２】　複素数$c$に対して，$\alpha ={\displaystyle \frac{|c-1|+c-1}{2}}\text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{|c-1|-c+1}{2}}$とおく．複素数平面上において$c\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$の表す点をそれぞれ$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とおく．

〔1〕$\alpha +\beta$の虚部は$\text{ア}$である．また，$c$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表すと，$c=\text{イ}$である．特に，$\alpha =\beta$が成り立つとき，$c=\text{ウ}$である．

〔2〕$c$が実数であるための必要十分条件は，$\alpha \beta =\text{エ}$である．特に，$\beta =\text{エ}$であることは$c\geqq \text{オ}$であることと同値である．

〔3〕$c$の実部を$1$とする．このとき，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が同一直線上にあるのは，$c$の虚部が$\text{カ}$のときである．それ以外のとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積が$12$となるのは，$c$の虚部が$\text{キ}$のときである．

〔4〕線分$\mathrm{AB}$の中点を表す複素数は$\text{ク}$である．また，$\mathrm{▵ABC}$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$を満たす直角二等辺三角形になるとき，$c$の実部は$\text{ケ}$である．

【３】　$0\leqq \theta \leqq \pi$として，$\theta$についての関数$f(\theta )$を

$f(\theta )=-3{\cos }^{2}2\theta +{\displaystyle \frac{9}{2}}\sin 2\theta$$+{\displaystyle \frac{1}{3}}(\sin \theta +\cos \theta )(4\sin 2\theta +1)+{\displaystyle \frac{11}{2}}$

と定める．$x=\sin \theta +\cos \theta$とおくと，$\theta$が$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$x$は$\text{ア}\leqq x\leqq \text{イ}$の範囲を動く．また，$x^2=p+q\sin 2\theta$とすると，$p=\text{ウ}\text{，}$$q=\text{エ}$である．そこで$f(\theta )$を$x$を用いて表すと，$x$についての$4$次多項式

$f(\theta )=\text{オ}$

となる．そこで，関数$g(x)$を$g(x)=\text{オ}$と定める．$g(x)$の導関数は

$g^{\prime }(x)=\text{カ}$

となる．$g^{\prime }(x)=0$となる$x$は$x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\text{キ}\text{，}$$\text{ク}$の$3$つある．これより，$\theta$が$0\leqq \theta \leqq \pi$を動くとき$f(\theta )$の最大値は$\text{ケ}$であることがわかる．

【４】　$n$を自然数とする．

〔1〕${\displaystyle \frac{{(1+x)}^{n+1}}{1+x^{n+1}}}$の$x\geqq 0$における最大値を以下の手順で求める．

　$n=1$のとき，

${\displaystyle \frac{{(1+x)}^2}{1+x^2}}=\text{ア}+{\displaystyle \frac{\text{イ}}{x^2+1}}$

であり，任意の$x$に対して$\text{イ}\leqq x^2+1$が成立し，等号は$x=\text{ウ}$のとき成立する．よって，${\displaystyle \frac{{(1+x)}^2}{1+x^2}}$は$x=\text{ウ}$において最大値$\text{エ}$をとることがわかる．ただし$\text{ア}\text{，}$$\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}$は定数，$\text{イ}$は$x$の$2$次未満の整式である．

　$n=2$のとき，

${\displaystyle \frac{{(1+x)}^3}{1+x^3}}=\text{オ}+{\displaystyle \frac{\text{カ}}{x^2-x+1}}$

であり，任意の$x$に対して$\text{カ}\leqq \text{キ}(x^2-x+1)$が成立し，等号は$x=\text{ク}$のとき成立する．よって，${\displaystyle \frac{{(1+x)}^3}{1+x^3}}$は$x=\text{ク}$において最大値$\text{ケ}$をとることがわかる．ただし$\text{オ}\text{，}$$\text{キ}\text{，}$$\text{ク}\text{，}$$\text{ケ}$は定数，$\text{カ}$は$x$の$2$次未満の整式である．

　$n$を自然数，$x\geqq 0$とするとき，${\displaystyle \frac{{(1+x)}^{n+1}}{1+x^{n+1}}}$は$x=\text{ク}$において最大値$\text{コ}$をとることを数学的帰納法によって示す．まず，$n=1$のときに成り立つことは既に示した．$n=k$のとき成り立つと仮定する．

${\displaystyle \frac{{(1+x)}^{k+2}}{1+x^{k+2}}}={\displaystyle \frac{{(1+x)}^{k+1}}{1+x^{k+1}}}(\text{サ}+{\displaystyle \frac{\text{シ}}{x^{k+2}+1}})$

であり，不等式$\text{シ}\leqq x^{k+2}+1$が成り立ち，この等号成立は$x=\text{ス}$のときである．これと帰納法の仮定より，不等式${\displaystyle \frac{{(1+x)}^{n+1}}{1+x^{n+1}}}\leqq \text{コ}$が$n=k+1$で成り立つことがわかる．この不等式の等号が$x=\text{ク}$で成り立つことは直接計算で確認できる．以上で，数学的帰納法による証明が完成した．

　ただし$\text{コ}$は$n$の式，$\text{サ}\text{，}$$\text{ス}$は定数，$\text{シ}$は$x$の$k+2$次未満の整式である．

〔2〕$n$を自然数とする．$x$が正の実数を動くときの

${\displaystyle \frac{{(1+x)}^{\frac{1}{n+1}}}{1+x^{\frac{1}{n+1}}}}$

の最小値を$n$の式で表すと，$\text{セ}$である．