2024　立命館大　総合心理,スポーツ健康,薬,食マネジメント学部Ａ方式2月2日実施

【１】

〔1〕$0\leqq x<2\pi$において，関数$f(x)=2{\sin }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x$$+4{\cos }^{2}x$を考える．$f(x)$は$2x$を用いて変形すると，

$f(x)=\text{ア}\sin (2x+\text{イ})+\text{ウ}$

と表される．ただし，$0\leqq \text{イ}<2\pi$とする．

　このとき，$f(x)$の最大値は$\text{エ}$であり，最大値をとる$x$のなかで最も大きな値は$\text{オ}$である．

　また，$a$が実数であるとき，$x$についての方程式$f(x)=a$の異なる実数解が$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$に$3$つあるような$a$の値の範囲は，$\text{カ}$である．

【１】

〔2〕$x$の方程式$2^{x+1}-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{x-4}=8^a$$\text{（}a$は定数）$\cdots \text{①}$を考える．

　$t=2^x$とすると，$\text{①}$は$t^2-2^{\text{キ}}\times t-\text{ク}=0$$\cdots \text{②}$と$t$の$2$次方程式に変形できる．

　$a={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，$\text{②}$の解は$t=\text{ケ}$であり，したがって，$\text{①}$の解は$x=\text{コ}$である．

　また，$x=3$が$\text{①}$の解となるとき，$a=\text{サ}(1+{\log }_2\text{シ})$である．

【１】

〔3〕次の表は生徒$5$人（番号$i=1\text{〜}$$5\text{）}$の身長$x_i(\mathrm{cm})$と体重$y_i(\mathrm{kg})$を測定した結果をまとめたものである．$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}$はそれぞれ$x_i\text{，}$$y_i$の平均を表す．この表より，以下の数値を求めよ．ただし，解答が無理数の場合はそのままでよい．

表

　身長の合計は$\text{ス}(\mathrm{cm})$とわかる．また，身長の標準偏差は$\text{セ}(\mathrm{cm})$であり，身長と体重の相関係数は${\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}$である．

【２】　$a$を正の定数とし，座標平面上に曲線$C\text{：}y=a{x}^3$を考える．

　曲線$C$上の点$\mathrm{P}(1,a)$における接線$l_1$の方程式は$y=\text{ア}$である．点$\mathrm{P}$を通り，接線$l_1$と直交する直線$l_2$の方程式は$y=\text{イ}$である．

　$x\geqq 0$の表す領域で，接線$l_1\text{，}$$y$軸，および曲線$C$で囲まれる図形の面積$S_1$は$\text{ウ}$であり，$x\leqq 0$の表す領域で，接線$l_1\text{，}$$y$軸，および曲線$C$で囲まれる図形の面積$S_1$は$\text{ウ}$であり，$x\leqq 0$の表す領域で，接線$l_1\text{，}$$y$軸，および曲線$C$で囲まれる図形の面積$S_2$は$\text{エ}$である．

　また，直線$l_2\text{，}$曲線$C\text{，}$および$y$軸で囲まれる図形の面積$S_3$は

$S_3=\text{オ}{\displaystyle \frac{1}{a}+\text{カ}a}$

である．ただし，$\text{オ}$と$\text{カ}$には数値が入る．

　ここで，相加平均と相乗平均の関係を使うと，$S_3\geqq \text{キ}$となり，等号が成り立つのは，$a=\text{ク}$のときである．つまり，$S_3$は$a=\text{ク}$のとき，最小値$\text{キ}$をとる．

　また，$S_1+S_3=S_2$が成り立つとき，$a=\text{ケ}$である．

【３】　座標空間に，右の図のような直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$がある．底面$\mathrm{ABCD}$は$xy$平面に平行，辺$\mathrm{AD}$は$y$軸に平行である．また，頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標はそれぞれ$\mathrm{A}(2,2,p)\text{，}$$\mathrm{B}(4,2,p)$である．ただし，$p>0$とする．

〔1〕線分$\mathrm{OA}$の長さが$4$のとき，$p=\text{ア}$である．さらに，$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{CG}=2$のとき，$\mathrm{G}$の座標は$(\text{イ},\text{ウ},\text{エ})$である．

〔2〕〔1〕の直方体を，$z$軸の負の方向に${\displaystyle \frac{p}{2}}$だけ平行移動する．さらに，$\mathrm{AD}$を軸にして，辺$\mathrm{BC}$が$xy$平面に含まれるように，直方体を回転する．ただし，回転する角度$\theta$は$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 90\mathrm{°}$とする．このとき，頂点$\mathrm{C}$は${\mathrm{C}}^{\prime }(\text{オ},\text{カ},\text{キ})$に移り，頂点$\mathrm{G}$は${\mathrm{G}}^{\prime }(\text{ク},\text{ケ},\text{コ})$に移る．

　また，頂点$\mathrm{H}$は${\mathrm{H}}^{\prime }(\text{サ},\text{シ},\text{ス})$に移り，この頂点が$\mathrm{H}$から${\mathrm{H}}^{\prime }$まで動くときに描く軌跡の長さは$\text{セ}$となる．

【４】　$2$種類の微生物$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は，その生育の過程で互いに影響を受けることなく，$1$時間経つと，$\mathrm{A}$は$1$個が$2$個に，$\mathrm{B}$は$1$個が$3$個に増える．以下の$\text{ア}\text{〜}$$\text{ケ}$は整数あるいは既約分数で，また，$\text{コ}\text{〜}$$\text{シ}$は$n$を用いた式で答えよ．

〔1〕$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$それぞれ$1$個を$1$つの容器の中で$1$時間培養$\text{（}1$回目培養）後，無作為に抽出した$1$個の個体が$\mathrm{A}$である確率を$P_{\mathrm{A}(1)}$とすると，$P_{\mathrm{A}(1)}=\text{ア}$である．この$1$回目培養後に$1$個ではなく$2$個の個体を無作為に抽出した場合に，$2$個とも$\mathrm{A}$である確率を$P_{\mathrm{AA}(1)}\text{，}$$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$1$個ずつである確率を$P_{\mathrm{AB}(1)}\text{，}$$2$個とも$\mathrm{B}$である確率を$P_{\mathrm{BB}(1)}$とすると，$P_{\mathrm{AA}(1)}=\text{イ}\text{，}$$P_{\mathrm{AB}(1)}=\text{ウ}\text{，}$$P_{\mathrm{BB}(1)}=\text{エ}$である．

〔2〕〔1〕で行った$1$回目培養後に無作為に抽出した$2$個の個体を，種類を確認せずに先とは別の$1$つの容器の中で培養し，$1$時間経過$\text{（}2$回目培養）後に$1$個の個体を抽出したとき，それが$\mathrm{A}$である確率を$P_{\mathrm{A}(2)}$とし，この$2$回目培養後に$1$個ではなく$2$個の個体を無作為に抽出した場合に，$2$個とも$\mathrm{A}$である確率，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$1$個ずつである確率，$2$個とも$\mathrm{B}$である確率を，それぞれ$P_{\mathrm{AA}(2)}\text{，}$$P_{\mathrm{AB}(2)}\text{，}$$P_{\mathrm{BB}(2)}$とする．$1$回目培養後に無作為に抽出した$2$個の個体が$2$個とも$\mathrm{A}$あるいは$2$個とも$\mathrm{B}$であった場合，それ以降は$\mathrm{A}$のみあるいは$\mathrm{B}$のみしか培養されず抽出もされない．$1$回目培養後に無作為に抽出した$2$個の個体が$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$であった場合，$2$回目培養は$1$回目培養の繰り返しとなる．したがって，$P_{\mathrm{A}(2)}=\text{オ}\text{，}$$P_{\mathrm{AA}(2)}=\text{カ}\text{，}$$P_{\mathrm{AB}(2)}=\text{キ}\text{，}$$P_{\mathrm{BB}(2)}=\text{ク}$となる．

〔3〕以降も同様の抽出と培養を繰り返し，$n$回目$\text{（}n$は$2$以上の自然数）培養後に抽出した$2$個の個体が$2$個とも$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$1$個ずつ，$2$個とも$\mathrm{B}$である確率を，それぞれ$P_{\mathrm{AA}(n)}\text{，}$$P_{\mathrm{AB}(n)}\text{，}$$P_{\mathrm{BB}(n)}$とすると，$P_{\mathrm{AA}(n)}=\text{ケ}\times P_{\mathrm{AA}(n-1)}+\text{イ}\times P_{\mathrm{AB}(n-1)}=\text{コ}\text{，}$$P_{\mathrm{AB}(n)}=\text{ウ}\times P_{\mathrm{AB}(n-1)}=\text{サ}$が成り立つから，$n$回目培養後に無作為に抽出した$1$個の個体が$\mathrm{A}$である確率を$P_{\mathrm{A}(n)}$とすると，$P_{\mathrm{A}(n)}=\text{シ}$で表される．