2024　立命館大　全学統一文系2月3日実施

【１】

〔1〕原点をOとする座標平面上に，$\mathrm{A}$$(2,5)\text{，}$$\mathrm{B}$$(7,9)\text{，}$$\mathrm{C}$$(11,2)\text{，}$$\mathrm{D}$$(3,14)$の$4$点がある．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$の大きさは$\text{ア}$である．

(2)　直線$\mathrm{AB}$上に，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=3\overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる点$\mathrm{E}$をとる．このとき，点$\mathrm{E}$の座標は$(\text{イ},\text{ウ})$である．

(3)　線分$\mathrm{BC}$を対角線にもつ平行四辺形$\mathrm{ABFC}$を考える．このとき，点$\mathrm{F}$の座標は$(\text{エ},\text{オ})$である．

(4)　直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{G}$とし，実数$s\text{，}$$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+t\overrightarrow{\mathrm{CD}}$と考えると，$t$は$\text{カ}$となり，点$\mathrm{G}$の座標は$(\text{キ},\text{ク})$である．ただし，$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}\text{，}$$\text{ク}$は$s\text{，}$$t$を用いないで表せ．

【１】

〔2〕(1)　整数$2024$を素数の積で表すと，$2024=\text{ケ}\times \text{コ}\times \text{サ}\times \text{シ}\times \text{ス}$となる．ただし，$\text{ケ}$$\leqq \text{コ}$$\leqq \text{サ}$$\leqq \text{シ}$$\leqq \text{ス}$とする．

(2)　$k$を自然数とし，$n=\sqrt{2024k}$とする．$n$が$4$桁の整数となるとき，$n$の最大値は$\text{セ}\text{，}$$n$の最小値は$\text{ソ}$である．また，$n$の正の約数の個数が$20$であるとき$n=\text{タ}$である．

【１】

〔3〕　$a$を定数とする．

(1)　放物線$y=x^2+ax+a+3$が$x$軸と異なる$2$つの共有点をもつとき，$a$の値の範囲は$\text{チ}$である．また，この放物線と$x$軸の正の部分が異なる$2$つの共有点をもつとき，$a$の値の範囲は$\text{ツ}$である．

(2)　$a$を$a>0\text{，}$$a\ne 1$とする．放物線$y=({\log }_{10}a)x^2$$+2({\log }_{10}a-1)x$$-({\log }_{10}a-1)$がある．

$\text{①}$　$a=100$のとき，この放物線は$x$軸との共有点を$\text{テ}$個もつ．

$\text{②}$　この放物線が$x$の値にかかわらず常に$x$軸の上側にあるとき，$a$の値の範囲は$\text{ト}$である．さらに，この放物線と$x$軸の正の部分が異なる$2$つの共有点をもつとき，$a$の値の範囲は$\text{ナ}$である．

【２】　ある農園で生産される果物は，出荷時に品質を判定し，$2$つのグレード$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のどちらかに分類される．$\mathrm{A}$グレードの方が$\mathrm{B}$グレードより品質が高い．

　農園の果物全体の$10\mathrm{\%}$が$\mathrm{B}$グレードである場合について考える．なお，小数の形で解答する場合は，小数第$2$位を四捨五入して，小数第$1$位まで求めよ．例えば，$2.56$は$2.6\text{，}$$0.81$は$0.8$と解答する．

〔1〕検査装置$\mathrm{X}$はこの果物の品質を自動的に判定し，$\mathrm{A}$グレードと$\mathrm{B}$グレードのどちらかに分類する．$\mathrm{X}$では，果物が

$\text{①}$　$\mathrm{A}$グレードであるときに，正しく$\mathrm{A}$グレードと判定する確率は$88\mathrm{\%}$

$\text{②}$　$\mathrm{B}$グレードであるときに，正しく$\mathrm{B}$グレードと判定する確率は$92\mathrm{\%}$

である．

　この農園から出荷される果物から$1$個を取り出して$\mathrm{X}$で検査するとき，$\mathrm{B}$グレードと判定される確率は$\text{ア}\mathrm{\%}$である．また，$\mathrm{X}$で$\mathrm{B}$グレードと判定されたときに，実際は$\mathrm{A}$グレードである確率は$\text{イ}\mathrm{\%}$である．

〔2〕〔1〕の検査装置$\mathrm{X}$で$\mathrm{B}$グレードと判定されたものについては，続いて人が検査を行い，$\mathrm{A}$グレードか$\mathrm{B}$グレードかを判定する．人の検査では，果物が

$\text{③}$　$\mathrm{A}$グレードであるときに，正しく$\mathrm{A}$グレードと判定する確率は$98\mathrm{\%}$

$\text{④}$　$\mathrm{B}$グレードであるときに，正しく$\mathrm{B}$グレードと判定する確率は$98\mathrm{\%}$

である．

　農園から出荷される果物のうち，$\mathrm{X}$の検査で$\mathrm{B}$グレードと分類されたものについて，この中から取り出した$1$個が，人の検査により$\mathrm{B}$グレードと判定される確率は$\text{ウ}\mathrm{\%}$である．

　農園から出荷される果物の中から取り出した$1$個が，$\mathrm{X}$の検査と人による検査の結果，$\mathrm{B}$グレードと判定される確率は$\text{エ}\mathrm{\%}$である．

　次に，$1$個当たりの検査費用は，$\mathrm{X}$による場合は$2$円，人による場合は$10$円である．また，$1$個当たりの販売価格は，$\mathrm{A}$グレードの場合は$100$円，$\mathrm{B}$グレードの場合は$30$円とする．このとき$1$日の果物の出荷個数を$1000$個とすると，$1$日当たりの人による検査が必要な個数は，$(1\text{日の出荷個数})\times {\displaystyle \frac{\text{ア}}{100}}$で計算され，$\text{オ}$個となる．したがって，$1$日に必要な検査の総費用は$\text{カ}$円となる．

　$\mathrm{A}$グレードの果物を誤って$\mathrm{B}$グレードとする場合の販売価格差によって生じる損失について考える．農園から出荷される果物の中から取り出した$1$個が，$\mathrm{A}$グレードであり，かつ$\mathrm{X}$の検査と人による検査の結果，$\mathrm{B}$グレードと判定される確率は$\text{キ}\mathrm{\%}$である．$1$日の出荷個数を$1000$個とすると，$1$日の損失額は，

$(1\text{日に出荷される果物の個数})$$\times {\displaystyle \frac{\text{キ}}{100}}$$\times (1\text{個当たりの損失額})$

で計算でき，結果は$\text{ク}$円となる．

〔3〕人の検査に代わるものとして新しい検査装置$\mathrm{Y}$の導入を検討している．$\mathrm{Y}$は，果物が

$\text{⑤}$　$\mathrm{A}$グレードであるときに，正しく$\mathrm{A}$グレードと判定する確率は$94\mathrm{\%}$

$\text{⑥}$　$\mathrm{B}$グレードであるときに，正しく$\mathrm{B}$グレードと判定する確率は$96\mathrm{\%}$

である．

　この農園から出荷される果物をまず〔1〕の$\mathrm{X}$で判定し，$\mathrm{A}$グレードと判定されたものはさらに検査を行わず，そのまま出荷する．$\mathrm{B}$グレードと判定されたものについては，次に$\mathrm{Y}$で判定し$\mathrm{A}$グレード，$\mathrm{B}$グレードに分類して出荷する．

　この農園から出荷される果物の中から取り出した$1$個が$\mathrm{B}$グレードであり，かつ$\mathrm{A}$グレードとして出荷される確率は，$\text{ケ}\mathrm{\%}$である．

　農園から出荷される果物の検査において，人の検査の代わりに$\mathrm{Y}$を導入した場合，$\mathrm{Y}$による果物$1$個当たりの検査費用は$5$円であるとすると$1$日の出荷個数$1000$個当たりの総検査費用は，人の検査に比べて$\text{コ}$円低下する．

【３】　次の問いに答えよ．

〔1〕$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を定数とする．$3$次関数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$が次の$3$つの条件を満たしている．

$f(1)=2\text{，}$$f(-1)=-2\text{，}$${\displaystyle {\int }_{-1}^1}(b{x}^2+cx+d)\mathit{dx}=2$

(1)　条件より，関数$f(x)$を$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を用いないで表せ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=2x$が接するとき，$a$の値を求めよ．また，そのとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=2x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

〔２〕$t$は$x$と無関係な変数として，$x$の関数$g(x)$を

$g(x)=-x^3+x^2+6x$$+{\displaystyle {\int }_0^1}(x^{2}t+3)\mathit{dt}$

とおく．

(1)　$g(x)$を求め，$g(x)$の極大値，極小値を求めよ．

(2)　$y=g(x)$のグラフを$x$軸方向に$p\text{，}$$y$軸方向に$q$だけ平行移動したとき，そのグラフが原点に関して対称になるとき，$p\text{，}$$q$の値を求めよ．