2024　立命館大　全学統一理系2月2日実施

【１】　$x$を自然数，$p$を素数として，$x$を$p$で割った商を$q\text{，}$余りを$r$$\text{（}0\leqq r<p\text{）}$とする．

〔1〕　$x^2$を$r$について整理された整式で表すと$x^2=\text{ア}$となる．また，$n$を自然数として，$x^n$について同様に考えると

$x^n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle {}_{n}C_k}\text{イ}{r}^k$

と与えられる．ただし，${\displaystyle {}_{n}C_k}$は$n$個の事象から$k$個を選び取るときの組合せの数であり，整数の$0$乗は$1$とする．これより，$x^n$を$p$で割った余りは$\text{ウ}$を$p$で割った余りと等しい．さらに，自然数$i\text{，}$$j$に対して$x^i$を$p$で割った余りを$s\text{，}$$x^j$を$p$で割った余りを$t$とすれば，$x^{i+j}$を$p$で割った余りは$s$と$t$に関する整式である$\text{エ}$を$p$で割った余りに等しい．ただし，$\text{ウ}$と$\text{エ}$は$x\text{，}$$p$を用いずに表せ．

〔2〕　${31}^2$を$7$で割った余りは$\text{オ}$であり，${31}^3$を$7$で割った余りは$\text{カ}$となる．同様に考えると，自然数$k$について，${31}^k$を$7$で割った余りが$1$となるのは，$k$が$\text{キ}$の倍数となるときである．一方，${31}^k$を$11$で割った余りが$1$となるのは，$k$が$\text{ク}$の倍数となるときである．ただし，$\text{キ}>0\text{，}$$\text{ク}>0$である．

　以上より，${31}^k$を$7$で割った余りと$11$で割った余りがともに$4$になる$k$を具体的に求めることができる．そのような自然数$k$で最小のものは$\text{ケ}$であり，$5$番目に小さなものは$\text{コ}$となる．

図

【２】　図のように，同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を平面上にとり，$\mathrm{▵OAB}$を考える．ただし，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=p\text{，}$$p<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．線分$\mathrm{AB}$を$p^2:(1+p^2)$に外分する点を${\mathrm{A}}_1$とする．さらに，点${\mathrm{O}}_1$を$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{O}}_1}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}-p^2\overrightarrow{a}$を満たすようにとる．

〔1〕$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\text{ア}$となり，$\overrightarrow{{\mathrm{O}}_1\mathrm{A}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\text{イ}$となる．ゆえに，$\mathrm{▵OAB}$と$\mathrm{▵}{\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_1\mathrm{A}$は相似であり，$\mathrm{▵}{\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_1\mathrm{A}$の面積は$\mathrm{▵OAB}$の面積の$\text{ウ}$倍である．

〔2〕同様に$\mathrm{▵}{\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_1\mathrm{A}$に対して線分${\mathrm{A}}_1\mathrm{A}$を$p^2:(1+p^2)$に外分する点${\mathrm{A}}_2$をとり，さらに点${\mathrm{O}}_2$を$\overrightarrow{{\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2}=\overrightarrow{{\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_2}-p^2\overrightarrow{{\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_1}$を満たすようにとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{O}}_2}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\text{エ}$となることから，$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{O}}_1\text{，}$${\mathrm{O}}_2$は同一直線上にあることがわかる．この操作を続けて，$n=3\text{，}$$4\text{，}\cdots$について$\mathrm{▵}{\mathrm{O}}_{n-1}{\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{A}}_{n-2}$から点${\mathrm{A}}_n\text{，}$点${\mathrm{O}}_n$を順に定める．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{O}{\mathrm{O}}_1$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\overrightarrow{{\mathrm{A}}_n\mathrm{D}}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\overrightarrow{{\mathrm{O}}_n\mathrm{D}}\right|=0$を用いると$\left|\overrightarrow{\mathrm{BD}}\right|=\text{オ}\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$かつ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|=\text{カ}\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{O}}_1}\right|$が成り立つことが分かる．

〔3〕$\mathrm{\angle AOB}=90\mathrm{°}$とする．このとき，上で定めた$\mathrm{D}$に対して，$\mathrm{O}$を通る$\mathrm{OD}$の垂線を引き，$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{E}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\text{キ}$となる．ゆえに，${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{ED}}\right|}}$を$p$を用いて表すと，$\text{ク}$となる．

《補足》図は参考であり，正確ではない．

〔1〕$a=0$とする．このとき，$f(x)$は$x=\text{ア}$のとき極小値，$x=\text{イ}$のとき極大値をとり，${\displaystyle {\int }_{\text{ア}}^{\text{イ}}}{f}^{\prime }(x)\mathit{dx}=\text{ウ}$である．

〔2〕$x$についての方程式$f^{\prime }(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつための必要十分条件を$a$で表すと，$\text{エ}$である．このとき，導関数$f^{\prime }(x)$は$x=\text{オ}$のとき最大値をとる．

〔3〕関数$g(x)$は$f(x)$の原始関数で，かつ$g(x)e^x$は$x$の多項式であるとする．$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}$が成立するのは，$a=\text{カ}$のときである．また，$x$についての方程式$g(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつための必要十分条件を$a$で表すと，$\text{キ}$である．このとき，曲線$y=f^{\prime }(x)$の$y\geqq 0$の部分と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_1\text{，}$曲線$y=g(x)$の$y\geqq 0$の部分と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_2$とおくと，$\underset{a\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}=\text{ク}$が成り立つ．

$a_n=\{\begin{array}{ll}{X}_1& \text{（}n=1\text{のとき）}\\ a_{n-1}-{\displaystyle \frac{1}{n}}(a_{n-1}-X_n)& \text{（}n\geqq 2\text{のとき）}\end{array}$

〔1〕$a_2\text{，}$$a_3$を$\{X_n\}$の項を用いて表すと，$a_2=\text{ア}\text{，}$$a_3=\text{イ}$となる．以下，$a_n$の一般項を求める．そのため，$b_n=n{a}_n$により数列$\{b_n\}$を定めると，$\{b_n\}$の漸化式$b_{n+1}=p{b}_n+q{X}_{n+1}$が，$(p,q)=\text{ウ}$に対して成り立つ．これより，$a_n$の一般項は$X_1\text{，}\cdots \text{，}$$X_n$を用いて$\text{エ}$と表すことができる．

〔2〕 　表と裏の出る確率が等しいコインを投げて表が出たら$1$点，裏が出たら$0$点であるゲームを考える．$1$回目の点数を$X_1\text{，}$$2$回目の点数を$X_2\text{，}$というように自然数$n$に対して，$n$回目の点数を$X_n$と表すことにする．

　各$n$について，$X_n=1$である確率は常に$\text{オ}$であることより，$a_2=1$となる確率は$\text{カ}$であり，$a_3=0$である確率は$\text{キ}$である．また，$a_8\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$となる確率は$\text{ク}$である．$n$が奇数のとき，$a_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$である確率は$\text{ケ}$である．

〔3〕表が出る確率が$p$であるコインを用いて，〔2〕と同様に$\{X_n\}$を定める．ただし，$0\leqq p\leqq 1$とする．このとき，$a_n=0$である確率を$p\text{，}$$n$を用いて表すと，$\text{コ}$である．また，$2$以上の自然数$n$を$1$つ固定したとき，$n{a}_n=2$となる確率が最も高くなるのは，$p=\text{サ}$のときである．