2024　立命館大　全学部統一文系2月1日実施

【１】

〔1〕(1)　$x$は実数，$a\text{，}$$b$は$0$以上の定数とし，次の条件$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を考える．

$\mathrm{P}\text{：}{x}^2-9x+8\leqq 0$

$\text{Q}\text{：}{(x-a)}^2\leqq 4$

$\mathrm{R}\text{：}|x-1|\leqq b$

$\text{①}$　$\mathrm{P}$を満たす$x$の値の範囲は$\text{ア}$である．

$\text{②}$　$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$の必要条件であるとき，$a$の値の範囲は$\text{イ}$である．

$\text{③}$　$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$の必要十分条件であるとき，$a\text{，}$$b$の値は$a=\text{ウ}\text{，}$$b=\text{エ}$である．

(2)　$x\text{，}$$y$は実数とする．次の$$にあてはまるものを下の選択肢より$1$つ選び記号で答えよ．

$\text{①}$　$x^2+y^2=0$は，$xy=0$であるための$\text{オ}$

$\text{②}$　$(x-1)(y-1)\geqq 0$は，$x\geqq 1$または$y\geqq 1$であるための$\text{カ}$

$\text{③}$　$x$が有理数であることは，$x^2\text{，}$$x^5$がともに有理数であるための$\text{キ}$

【１】

〔2〕$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は定数とする．$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$$\cdots \text{①}$のグラフが$3$点$\mathrm{A}(4,2)\text{，}$$\mathrm{B}(1,-1)\text{，}$$\mathrm{C}(-1,7)$を通る．

(1)　$2$次関数$\text{①}$は，$y=\text{ク}$である．

(2)　$2$次関数$\text{①}$のグラフ上の点$\mathrm{D}$が，$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}$を満たすとき，点$\mathrm{D}$の座標は，$(\text{ケ},\text{コ})$である．ただし，$1\leqq \text{ケ}\leqq 4$である．次に，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{B}$と点$\mathrm{E}$でできる四角形$\mathrm{ADBE}$がひし形であるとき，点$\mathrm{E}$の座標は$(\text{サ},\text{シ})$である．

(3)　点$\mathrm{P}$は，$2$次関数$\text{①}$のグラフ上の点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$の間にある．点$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{AB}$との距離が最大となるのは，点$\mathrm{P}$の$x$座標が$\text{ス}$のときである．またそのときの最大値は$\text{セ}$である．

【１】

〔3〕$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$\cdots \text{①}$とし，連立方程式

$\{\begin{array}{l}\cos 2y=\sin x\cdots \text{②}\\ \sin y=\sin 2x\cdots \text{③}\end{array}$

を考える．$\text{②}$の右辺について，すべての$x$で$\sin x=\cos (\text{ソ})$が成り立ち，$\text{①}$の範囲により，$2y=\text{ソ}$を得る．$\text{ソ}$は，次の選択肢から正しいものを$1$つ選び記号で答えよ．

　次に，$\text{③}$の右辺について，すべての$x$で$\sin 2x=\sin (\text{タ})$が成り立ち，$\text{①}$の範囲により，$y=2x\text{，}$または，$y=\text{タ}$を得る．$\text{タ}$は，次の選択肢から正しいものを$1$つ選び記号で答えよ．

　$2y=\text{ソ}$と$y=2x\text{，}$および$2y=\text{ソ}$と$y=\text{タ}$から，$x=\text{チ}\text{，}$$\text{ツ}$を得る．ただし，$\text{チ}<\text{ツ}$とする．

　次に，$2$倍角の公式を使うと，

$\text{②}$は$\sin x=1-\text{テ}$$\cdots \text{④}$

$\text{③}$は$\sin y=\text{ト}$$\cdots \text{⑤}$

となる．ただし，$\text{テ}$は$x$を含まず，$\text{ト}$は$y$を含まない．$\text{④}\text{，}$$\text{⑤}$より，$\sin y$を消去し$t=\sin x$とおいて整理すると整数係数の$t$の$4$次方程式

$\text{ナ}{t}^4-\text{ニ}{t}^2-t+\text{ヌ}=0$$\cdots \text{⑥}$

が得られる．$x=\text{チ}$のときは$0<t<1$であるので，$\text{⑥}$を解くと$t=\text{ネ}$となる．

　よって，$\sin (\text{チ})=\text{ネ}$である．

【２】　$\mathrm{A}$さんは$2024$年$1$月$1$日より，毎年一定金額を積み立てて預金をすることにした．いま，$2$つの銀行があり，どちらの銀行のほうがよりお金が貯まるかを考えている．銀行$\mathrm{G}$は利率が単利計算の口座で，銀行$\mathrm{H}$は利率が複利計算の口座という違いがある．

　ここで，

・単利計算とは預け入れ期間中の元金についてのみ利息をつける方法

・複利計算とは預け入れ期間の途中でそれまでについた利息を元金に加え，その金額をもとに利息をつける方法

である．

　なお，$\mathrm{A}$さんは毎年$1$月$1$日にお金を預けるものとする．また，利息はその年の$12$月$31$日につくものとし，以降$n$年後と表記したときは$n$年後の$12$月$31$日に利息がついた直後とする．

　ただし，${1.01}^2=1.020\text{，}$${1.01}^3=1.030\text{，}$${1.01}^4=1.040\text{，}$${1.01}^5=1.051\text{，}$${1.05}^{14}=2.000\text{，}$${1.05}^{15}=2.080\text{，}$${\log }_{10}2=0.301\text{，}$${\log }_{10}3=0.477\text{，}$${\log }_{10}5=0.699\text{，}$${\log }_{10}1.04=0.017$として計算せよ．

〔1〕まず$\mathrm{A}$さんが毎年$10000$円ずつ$1$年間の利率が$1\mathrm{\%}$である銀行$\mathrm{G}$に積み立てる場合を考える．銀行$\mathrm{G}$は単利計算の口座のため，$1$年目に預けたお金は$1$年後に$10000\times 0.01=100$円の利息がつくので，元金と利息を合わせた金額である元利合計は$10100$円となる．$1$年目に預けたお金は$2$年後に$10000\times 0.01+10000\times 0.01=200$円の利息がつくため元利合計は$10200$円となる．$1$年目に預けたお金は$3$年後に$\text{ア}$円だけ利息がつくため元利合計は$\text{イ}$円となる．$\mathrm{A}$さんが毎年$10000$円ずつ$5$年間銀行$\mathrm{G}$で積み立てを行った場合，元利合計は$5$年後に$\text{ウ}$円となる．

　一方で，毎年$10000$円ずつ$1$年間の利率が$1\mathrm{\%}$である銀行$\mathrm{H}$に積み立てる場合を考える．銀行$\mathrm{H}$は複利計算の口座のため，$1$年目に預けたお金は$1$年後に$10000\times 0.01=100$円の利息がつき，元利合計は$10100$円となる．$2$年後には$1$年目の元利合計である$10000(1+0.01)$円を元金として利息がつくので，その元利合計は

$10000(1+0.01)$$+10000(1+0.01)\times 0.01$$=10000{(1+0.01)}^2$

より$10200$円となる．$1$年目に預けたお金の$3$年後の元利合計は，$\text{エ}$円となる．$\mathrm{A}$さんが$5$年間銀行$\mathrm{H}$で積み立てを行った場合，元利合計は$5$年後に$\text{オ}$円となる．したがって，$\mathrm{A}$さんはより多くの元利合計を得ることのできる銀行$\text{カ}$に預け入れる．なお，$\text{カ}$は$\mathrm{G}$か$\mathrm{H}$のどちらかで解答せよ．

〔2〕毎年$C$円ずつ$1$年間の利率が$r$である銀行$\mathrm{G}$に積み立てる場合，$1$年目に預け入れた$C$円は$n$年後に$(\text{キ})\times C$円になる．同様に，毎年$1$月$1$日に預け入れた$C$円が$n$年後にいくらになっているかを考え，それらの和をとると$n$年後の元利合計は$(\text{ク})\times C$円となる．

〔3〕毎年$C$円ずつ$1$年間の利率が$r$である銀行$\mathrm{H}$で積み立てる場合，$n$年後の元利合計は初項$\text{ケ}\text{，}$公比$\text{コ}\text{，}$項数$n$の等比数列の和となる．したがって，元利合計は$\text{サ}\times C$円となる．

〔4〕$1$年間の利率が$5\mathrm{\%}$であるときに，銀行$\mathrm{H}$で$14$年後に元利合計が$63$万円になるためには，毎年$\text{シ}$円ずつ積み立てればよい．

〔5〕　$1$年間の利率が$4\mathrm{\%}$であるときに，目標の元利合計を$104$万円として毎年$4$万円ずつ銀行$\mathrm{H}$で積み立てる．このとき，最短で$\text{ス}$年後にこの目標を達成することができる．

【３】　右の図のように$7$つの部分に分けられた長方形がある．$7$つの部分$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{G}$を絵の具を使って塗り分ける．ただし，隣り合う部分には異なる色を塗るものとする．

　例えば，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{A}$と$\mathrm{D}$は隣り合うため異なる色を塗る．また，$\mathrm{A}$と$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{C}$と$\mathrm{E}$は隣り合わないため同じ色を塗ってもよい．このとき，次の問いに答えよ．

〔1〕(1)　$7$色で塗り分ける方法は何通りあるか求めよ．

(2)　$n$を自然数とする．$n$色で$7$つの部分を塗り分けるとき，最小の$n$の値を求めよ．また，そのとき，塗り分ける方法は何通りあるか求めよ．

(3)　$5$色で塗り分ける方法は何通りあるか求めよ．

〔2〕「赤」と書かれたカードが$3$枚，「青」と書かれたカードが$2$枚，「黄」と書かれたカードと，「緑」と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ある．これら$7$枚のカードをよく混ぜて，一列に並べる．最初のカードに書かれている色を部分$\mathrm{A}$に塗る．$2$番目のカードに書かれている色を部分$\mathrm{B}$に塗る．このように，一列に並んでいるカードの順番にしたがって，そのカードに書かれている色を部分$\mathrm{A}$からアルファベット順に部分$\mathrm{G}$まで塗る．

(1)　隣り合う部分が異なる色で塗り分けられている確率を求めよ．

(2)　隣り合う部分が異なる色で塗り分けられているときに，部分$\mathrm{A}$の色が「黄」または「緑」である確率を求めよ．