2024　同志社大　理工学部2月10日実施

(1)　実数$u$は$0<u<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たすとする．$\alpha =\tan (2u)\text{，}$$\beta =\sin (2u)$のとき，${\displaystyle \frac{a_2}{\tan u}}\text{，}$${\displaystyle \frac{b_2}{\sin u}}$はそれぞれ定数$A\text{，}$$B$となる．$A\text{，}$$B$を求めよ．

(2)　実数$p\text{，}$$x$はそれぞれ$p>0\text{，}$$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとする．$\alpha =p\tan x\text{，}$$\beta =p\sin x$のとき，自然数$n$に対して，${\displaystyle \frac{a_n}{\tan \left({\displaystyle \frac{x}{2^{n-1}}}\right)}}\text{，}$${\displaystyle \frac{b_n}{\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2^{n-1}}}\right)}}$をそれぞれ$p\text{，}$$n$を用いて表せ．

(3)　$\alpha =2\text{，}$$\beta =1$のとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$をそれぞれ求めよ．

$C\text{：}y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}{(x-1)}^2\text{，}$$D_a\text{：}{\displaystyle \frac{{(x-1)}^2}{3}}+{(y-a)}^2=1$

次の問いに答えよ．

(1)　曲線$D_a$上の点$(1-\sqrt{2},a-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$における曲線$D_a$の接線の傾きを求めよ．

(2)　$s>1$とする．$2$つの曲線$C\text{，}$$D_a$が共有点$\mathrm{P}$$(s,t)$をもち，この共有点$\mathrm{P}$において共通の接線をもつ．このとき，$a\text{，}$$s\text{，}$$t$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$a$の値を$k$として，曲線$D_k$の$y\leqq k$の部分を曲線$E_k$とする．$2$つの曲線$C$と$E_k$で囲まれた部分を，直線$y=k$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とする．$V$の値を求めよ．

(1)　$f(x)\text{，}$$g(x)$の導関数$f^{\prime }(x)\text{，}$$g^{\prime }(x)$をそれぞれ求めよ．

(2)　$l_p$が原点$(0,0)$を通るとき，$g(p)$の値を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，次の$2$つの条件(ⅰ)，(ⅱ)を同時に満たす実数$p_n$がただ一つあることを示せ．

(ⅰ)　$|p_n-\pi n|<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$(ⅱ)　$l_{p_n}$が原点$(0,0)$を通る

(4)　自然数$n$に対して，(3)の$p_n$は$\pi n-{\displaystyle \frac{1}{n}}<p_n<\pi n$を満たすことを示せ．ただし，必要ならば，$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき$\tan x\geqq x$が成り立つことを証明なしに用いてよい．

(5)　自然数$m$に対して，直線$l_{p_{2m}}$の傾きを${\alpha }_m$とおく．極限値$\underset{m\to \infty }{\lim }{m}^{\frac{3}{2}}{\alpha }_m$を求めよ．