2024　同志社大　社会学部2月27日実施

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(1)　$x+1$を因数にもつ整式$P(x)$を$x-1$で割ると$5$余るとき，$P(1)$の値は$\text{ア}$であり，$P(-1)$の値は$\text{イ}$である．また，$P(x)$を$x^2-1$で割った余りは$\text{ウ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(2)　$f(x)$は$3$次の整式で表された関数で，次の等式

$3x^4+2x^3-2x^2+xf(x)$$={\displaystyle {\int }_1^x}f(t)\mathit{dt}$

を満たす．このとき，$f(1)$の値は$\text{エ}$である．また，$f(x)=\text{オ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(3)　関数$y=\cos (2x+{\displaystyle \frac{5}{6}}\pi )\cos (2x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi )$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$について，$y=0$を満たす$x$の値は$\text{カ}$であり，$y$が最小値をとるときの$x$の値は$\text{キ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(4)　変量$x$の$m$個の値$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_m$からなるデータがある．$m\geqq 2\text{，}$$d>0$として，$i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$m-1$のとき$x_i=a$であり，$i=m$のとき$x_i=a+d$である．このデータの平均値$\bar{x}$は$m\text{，}$$a\text{，}$$d$を用いて表すと$\bar{x}=\text{ク}$であり，分散$s^2$は$m\text{，}$$d$を用いて表すと$s^2=\text{ケ}$である．また，$i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$m$のとき，このデータの標準偏差$s$を用いて$x_i$の標準得点$z_i$を$z_i={\displaystyle \frac{x_i-\bar{x}}{s}}$により定める．このとき，$z_{m-1}$と$z_m$の積の値は$z_{m-1}{z}_m=\text{コ}$である．

【２】　$xyz$空間の$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(3,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,4,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,4,3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\mathrm{▵ABC}\text{，}$$\mathrm{▵OBC}\text{，}$$\mathrm{▵OCA}\text{，}$$\mathrm{▵OAB}$の重心をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$とおく．四面体$\mathrm{OABC}\text{，}$四面体$\mathrm{PQRS}$に内接する球の中心をそれぞれ$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{J}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$の値をそれぞれ求めよ．また，四面体$\mathrm{PQRS}$の体積を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(4)　線分$\mathrm{IJ}$の長さを求めよ．

【３】　座標平面上の，$x$軸に接する円$C_0\text{，}$$C_1\text{，}$$C_2\text{，}\cdots$を(ⅰ)から(ⅲ)のように定める．

(ⅰ)　円$C_0$は，$x^2+{(y-1)}^2=1$とする．

(ⅱ)　円$C_1$は，$y$軸に接し，中心${\mathrm{P}}_1$の$x$座標が正であり，$C_0$と外接する．

(ⅲ)　$n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}\cdots$のとき，円$C_n$は，$2$つの円$C_0\text{，}$$C_{n-1}$の両方と外接し，かつ，$x$軸および$C_0\text{，}$$C_{n-1}$に囲まれた領域に含まれる．

$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$のとき，円$C_n$の中心${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$X>0$とする．点$\mathrm{P}$$(X,Y)$を中心とする円$C$は，$x$軸に接し，$C_0$と外接する．このとき，$Y$を$X$を用いて表せ．

(2)　$a_1$の値を求めよ．

(3)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$のとき，$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(4)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$のとき，$a_n$の逆数を$b_n$とする．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(5)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．