2024　同志社大　神・心理・商・グローバル地域文化学部2月9日実施

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(1)　$p\text{，}$$q$を実数とする．$x$の$2$次関数$f(x)=-2x^2$$+(p+q)x$$+(2p-3q)$について，$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}}=2q$が成り立つとき，$q$を$p$を用いて表すと$q=\text{ア}$である．さらに$f(-1)=0$も成り立つとき，$p\text{，}$$q$の値はそれぞれ，$p=\text{イ}\text{，}$$q=\text{ウ}$となる．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(2)　大中小の$3$つのさいころを同時に投げるとき，出る目がすべて異なり，かつ，大，中，小のさいころの順に出る目が小さくなり，かつ$3$つの目の合計が$10$以下となる確率は$\text{エ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(3)　$a>0$とする．$xy$平面において，円$C_1\text{：}{x}^2+y^2-1=0$の中心を${\mathrm{O}}_1\text{，}$円$C_2\text{：}{x}^2-4ax+y^2+3a^2=0$の中心を${\mathrm{O}}_2$とする．円$C_1$と円$C_2$が異なる$2$つの共有点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をもつような$a$の値の範囲は$\text{オ}$である．ただし，$\mathrm{P}$の$y$座標は正とする．このとき，$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る直線の式は$\text{カ}$である．$4$つの線分${\mathrm{O}}_1\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{P}{\mathrm{O}}_2\text{，}$${\mathrm{O}}_2\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{Q}{\mathrm{O}}_1$で囲まれた図形の面積が${\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{6}}$となるような$a$のうち，最大の値は$a=\text{キ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(4)　平面上の$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=1$とする．辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\text{ク}$である．また，$\mathrm{▵ABP}$の外接円の中心を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{OB}$が$\mathrm{▵ABP}$の外接円に接しているとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の内積の値は$\overrightarrow{\mathrm{OE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\text{ケ}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積の値は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\text{コ}$である．

【２】　$p$を$-3<p<3$をみたす実数とする．$xy$平面において，$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(-3,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,3)$とする．$x$座標が$p$である点$\mathrm{P}$は，直線$\mathrm{AB}$上にある．また，点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{OB}$に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$の共有点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を$p$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AQ}$の長さを$p$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵APQ}$と$\mathrm{▵OBP}$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}$$S_2$とおく．$S_1$と$S_2$の比$S(p)={\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を$p$を用いて表せ．

(4)　$p$は$-3<p<3$をみたしながら動くとする．(3)で定めた$S(p)$について，等式$\sqrt{S(p)}=kp$をみたす$p$の個数は実数である定数$k$の値によってどのように変わるか調べよ．

【３】　$n$を$4$以上の自然数とする．合計$2n$本のくじがある．そのうち，「あたり」の本数が$6$であり，「はずれ」の本数が$2n-6$である．この$2n$本のくじを無作為に赤箱と白箱にそれぞれ$n$本ずつ入れる．$k=2$または$k=3$とし，$2$つの箱のうち少なくとも一方に「あたり」がちょうど$k$本入っている確率を$P(k,n)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k=3\text{，}$$n=6$のときの確率$P(3,6)$の値を求めよ．また，$k=2\text{，}$$n=6$のときの確率$P(2,6)$の値を求めよ．

(2)　$k=2$のときの確率$P(2,n)$を$n$を用いて表せ．

(3)　$k=2$とする．$n$が$4$以上の自然数として変化するとき，${\displaystyle \frac{P(2,n+1)}{P(2,n)}}$と$1$との大小関係に注目することによって，$P(2,n)$が最大となるような$n$の値をすべて求めよ．