2024　同志社大　法・グローバルコミュニケーション学部2月8日実施

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(1)　空間内のへこみのない多面体について，辺の数を$e\text{，}$面の数を$f\text{，}$頂点の数を$v$とすると，$e\text{，}$$f\text{，}$$v$の$1$次式$\text{ア}$は，多面体の種類によらず一定の値$2$をとる．これをオイラーの多面体定理とよぶ．$1$辺の長さが$1$である正四面体の体積は$\text{イ}$である．またこの正四面体に内接する球の体積は$\text{ウ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(2)　$xy$平面上の曲線$C\text{：}y=2x^3-4x^2$を考える．$t\text{，}$$k$を実数とする．点$\mathrm{P}$$(t,2t^3-4t^2)$における曲線$C$の接線$l$の方程式は$y=\text{エ}$である．この接線$l$が点$\mathrm{Q}$$(2,k)$を通るとき，$k$を$t$で表すと$k=\text{オ}$である．したがって，点$\mathrm{Q}$$(2,k)$を通り，曲線$C$に接する直線が$2$本以上引けるような$k$の値の範囲は$\text{カ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(3)　すべての実数$x$に対して$\sin (3x+T)=\sin (3x)$をみたす正の定数$T$のうち，最小のものは$\text{キ}$である．$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で定義された関数$y={\displaystyle \frac{\sin (4x)}{\cos x\sin x}}$$-{\displaystyle \frac{\sin (3x)}{\sin x}}$$-{\displaystyle \frac{\sin (2x)}{\sin x}}$を考える．$t=\cos x$として$y$を$t$の$2$次式で表すと$y=\text{ク}$となる．これを用いると，$y$の最小値は$\text{ケ}$であり，最小値を与える$x$の値を$x_0$とおくと，$\sin x_0=\text{コ}$である．

【２】　$p\text{，}$$q$を$0<p<2\text{，}$$q>0$をみたす実数とする．$xy$平面上において，$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(2,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(p,q)$で作られる$\mathrm{▵OAP}$の外接円の中心，つまり外心を$\mathrm{C}$とし，$\mathrm{▵OAP}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．さらに，点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{H}$の$y$座標をそれぞれ$c\text{，}$$h$とする．このとき，次の問いに答えよ．

【３】　$n$を$2$以上の自然数とする．平面上において，円周上に相異なる$n$個の点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n$をとり，すべての$2$点間を結び${\displaystyle \frac{1}{2}}n(n-1)$本の線分を作る．ただし，円周を除いた円の内部で，どの$3$本以上の線分も$1$点で交わることはないとする．これら${\displaystyle \frac{1}{2}}n(n-1)$本の線分が，円の内部を$a_n$個の部分に分けるとする．例えば$n=2$のときは，${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$を結んだ線分によって，円の内部が$2$つの部分に分割されるので$a_2=2$である．このとき，次の問いに答えよ．