2024　同志社大　理系学部2月7日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(1)　円周を$4$等分する点を時計回りに$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とする．これら$4$点のいずれかに位置する動点$\mathrm{P}$に対して，「赤玉$3$個，白玉$2$個の合計$5$個の玉が入った袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてからもとの袋に玉を戻す．玉の色が赤であれば動点$\mathrm{P}$を時計回りの隣の点に移動させ，白であれば動点$\mathrm{P}$を反時計回りの隣の点に移動させる」という試行を考える．$n$を自然数とし，最初に点$\mathrm{A}$に位置する動点$\mathrm{P}$に対してこの試行を$n$回続けて行ったあと，動点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}$に位置する確率をそれぞれ$a_n\text{，}$$c_n$とすると，$a_2=\text{ア}\text{．}$$k$を自然数として，$n=2k$の場合を考える．このとき，$a_{2k}+c_{2k}$の値は$\text{イ}\text{，}$$a_{2k+2}$を$a_{2k}$で表すと$a_{2k+2}=\text{ウ}{a}_{2k}+{\displaystyle \frac{13}{25}}\text{．}$よって，$a_{2k}$を$k$で表すと$a_{2k}={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+\text{エ})$となり，$\underset{k\to \infty }{\lim }{c}_{2k}=\text{オ}\text{．}$

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(2)　複素数平面上で，点$2$を，原点を中心として${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$だけ回転した点を$\alpha$とする．$\alpha$の実部は$\text{カ}\text{，}$虚部は$\text{キ}$である．次に，$0$でない複素数$z$が，方程式$|z-2|=|z-\alpha |$を満たしながら変化するとき，$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$で表される点$w$が描く図形は，$2$つの点${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\beta$を結ぶ線分の垂直二等分線から原点を除いたものになる．ここで，$\beta$の実部は$\text{ク}\text{，}$虚部は$\text{ケ}$である．また，${|z-w|}^2$の最小値は$\text{コ}$である．

【２】　$a$を正の実数とする．座標平面上に，$4$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(a,9)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,9)$を頂点とする四角形$\mathrm{OABC}$と曲線$H\text{：}y=e^x$を考える．四角形$\mathrm{OABC}$の面積を$D(a)$とする．四角形$\mathrm{OABC}$の周およびその内部からなる図形のうち，不等式$y\leqq e^x$の表す領域に含まれる部分の面積を$S(a)$とする．関数$f(a)={\displaystyle \frac{1}{2}}D(a)-S(a)$とする．次の問いに答えよ．ただし，自然対数の底$e$について，$e<3$であることを証明なしに用いてよい．

(1)　点$\mathrm{B}$が曲線$H$上にあるときの$a$の値を$a_0$とする．$a_0$と$f(a_0)$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　(1)の$a_0$に対し，区間$0<a\leqq a_0$における$f(a)$の符号を調べよ．

(3)　$f(a)=0$となる$a$の値を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．自然数$k$に対して関数$f_k(x)$を

$f_k(x)={\displaystyle \frac{k}{n}}\sin (kx)+\cos (kx)$

で定め，$F_k={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}|f_k(x)|\mathit{dx}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　三角関数の合成を用いると，$f_k(x)=C_k\sin (kx+{\theta }_k)$と表される．このとき，$C_k$と$\tan {\theta }_k$を$k\text{，}$$n$の式で表せ．ただし，$C_k>0$とする．

(2)　$F_k$を$k\text{，}$$n$の式で表せ．ただし，$c$を実数，$g(x)$を連続関数で$2\pi$を周期とする周期関数とするとき，等式${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}g(x+c)\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }g(x)\mathit{dx}}$が成り立つことを証明なしに用いてよい．

(3)　関数$h(x)=x\sqrt{1+x^2}+\log (x+\sqrt{1+x^2})$の導関数$h^{\prime }(x)$について，$h^{\prime }(x)=\alpha \sqrt{1+x^2}$となる定数$\alpha$の値を求めよ．

(4)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{F}_k$を求めよ．

【４】　$a$を正の定数，$t$を実数とする．点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に，$3$点$\mathrm{A}$$(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(t,t,a)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABD}$と$\mathrm{▵OAD}$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}$$S_2$とする．$S_1\text{，}$$S_2$を$a\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　$c$を正の定数として，$x$の方程式${\displaystyle \frac{x^2}{x^2+2c}}={\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{x^2-2x+1+c}}$を解け．

(3)　等式$\sqrt{6+4\sqrt{2}}=m+\sqrt{2}$を満たす整数$m$を求めよ．ここで，$2$つの整数$p\text{，}$$q$が等式$p+q\sqrt{2}=0$を満たせば，$p=q=0$であることを証明なしで用いてよい．

(4)　$a={128}^{\frac{1}{4}}$とする．$t$が実数全体を動くとき，四面体$\mathrm{OABD}$の表面積の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．