2020　同志社大　政策・文化情報・スポーツ健康科学部文系2月7日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(1)　$1$辺の長さが$8$である正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角錐$\mathrm{O‐ABCD}$について$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=6$が成り立つとき，四角錐$\mathrm{O‐ABCD}$の高さは$\text{ア}$である．四角錐$\mathrm{O‐ABCD}$に内接する球の半径は$\text{イ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(2)　次の方程式を考える．

${\log }_2(2x+8)-{\log }_2(-x)$$=1+{\log }_2(-1-x)$

この方程式に含まれるすべての対数の真数が正となるような$x$の範囲は$\text{ウ}$であり，この方程式の解は$x=\text{エ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(3)　等差数列$\{a_n\}$は$a_5=18\text{，}$$a_{10}=43$を満たす．この数列$\{a_n\}$の一般項を$n$を用いて表すと$a_n=\text{オ}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$である．また，等比数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n=2^n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とする．$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$に共通に含まれる数を小さいほうから順に並べてできる数列を$\{c_m\}$とする．このとき，数列$\{c_m\}$の第$2$項は$c_2=\text{カ}$である．数列$\{c_m\}$の一般項を$m$を用いて表すと$c_m=\text{キ}$$\text{（}m=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(4)　白玉$4$個，赤玉$2$個が入っている袋がある．この袋から玉を$1$個だけ取り出して玉の色を調べてからもとに戻すという試行を考える．この試行を$3$回続けて行うとき，赤玉がちょうど$2$回出る確率は$\text{ク}$であり，白玉が$2$回以上出る確率は$\text{ケ}$である．この試行を$4$回続けて行うとき，$4$回目で$3$度目の赤玉あるいは$3$度目の白玉が出る確率は$\text{コ}$である．

【２】　$n$を$2$以上の整数とする．変量$x$の$n$個の値$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_n$からなるデータがあり，その平均値を$\bar{x}\text{，}$分散を$s_x^2$で表す．$i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n$のとき，$x_i$の平均値からの偏差$x_i-\bar{x}$を$d_i$で表す．また，$j=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n$のとき，$n$個の値$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_n$からなるデータから$j$番目の数$x_j$だけをのぞいた$n-1$個の値からなるデータの平均値，分散をそれぞれ$y_j\text{，}$$z_j$で表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$j=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n$のとき，$y_j$を$n\text{，}$$\bar{x}\text{，}$$d_j$を用いて表せ．

(2)　$n$個の値$y_1\text{，}$$y_2\text{，}\cdots \text{，}$$y_n$からなるデータの平均値を$\bar{y}$とする．このとき，$\bar{y}=\bar{x}$が成り立つことを示せ．

(3)　$n$個の値$y_1\text{，}$$y_2\text{，}\cdots \text{，}$$y_n$からなるデータの分散$s_y^2$を$n\text{，}$$s_x^2$を用いて表せ．

(4)　$j=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n$のとき，$z_j$を$n\text{，}$$s_x^2\text{，}$$d_j$を用いて表せ．

(5)　$n$個の値$z_1\text{，}$$z_2\text{，}\cdots \text{，}$$z_n$からなるデータの平均値を$\bar{z}$とする．このとき，$\bar{z}={\displaystyle \frac{n(n-2)}{{(n-1)}^2}}{s}_x^2$が成り立つことを示せ．

【３】　$p$を正の実数とする．$x$の$3$次関数を$f(x)=x^3+p{x}^2-p^{2}x-p^3$とおき，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$p$を用いて表せ．

(2)　$f(x)$の極小値$s$を$p$を用いて表せ．また，方程式$f(x)=s$のすべての解$x$を$p$を用いて表せ．

(3)　$-1\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最小値を$m(p)$とする．$m(p)$を求めよ．

(4)　$p$が$p>0$の範囲を動くとき，$m(p)$の最大値を求めよ．また，$m(p)$を最大にする$p$の値を求めよ．