2024　同志社大　文，経済学部2月6日実施

【１】 　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(1)　$n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$は，$a_1=100\text{，}$$a_{n+1}=a_n+4$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$をみたすとする．また数列$\{S_n\}\text{，}$$\{T_n\}$を$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{，}$$T_n={\displaystyle \sum _{j=1}^n}{(-1)}^j{a}_j$とおく．$n$を用いて，それぞれ$a_n=\text{ア}\text{，}$$S_n=\text{イ}$となる．また，$n$を用いて$T_{2n}=\text{ウ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(2)　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を整数とする．$0\leqq x\leqq y\leqq z\text{，}$かつ$x+y+z=9$をみたす$(x,y,z)$の組は$\text{エ}$通りである．紫玉$3$個，白玉$9$個があり，これらを円形につなげてプレスレットを作る方法は$\text{オ}$通りである．ただし，回転したり裏返ししたりして玉の並び方が同じになる配置は$1$通りと考える．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(3)　空間内の直方体$\mathrm{OADB‐CEGF}$において，$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=2\text{，}$$\mathrm{OC}=2$とする．辺$\mathrm{CE}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BF}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$との内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は$\text{カ}\text{，}$$\mathrm{▵OPQ}$の面積は$\text{キ}$である．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が定める平面$\alpha$上に点$\mathrm{H}$があり，直線$\mathrm{DH}$が平面$\alpha$に垂直であるとする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす実数$s\text{，}$$t$について，$s$の値は$s=\text{ク}$である．よって，四面体$\mathrm{OPQD}$の体積は$\text{ケ}$となる．また，直線$\mathrm{DH}$と面$\mathrm{CEGF}$を含む平面との共有点を$\mathrm{J}$とおくと，四面体$\mathrm{OPQJ}$の体積は$\text{コ}$となる．

【２】　$xy$平面において，連立不等式

$x\leqq 6\text{，}$$y\leqq 4\text{，}$$2x+7y+23\geqq 0\text{，}$$7x+2y+13\geqq 0$

の表す領域を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$3x+y$がとる値の最大値および最小値と，そのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$x^2-2x+y$がとる値の最大値および最小値と，そのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【３】　$a$を$1$とは異なる正の定数とし，$t$を実数とする．$xy$平面において，曲線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}$$(t,t^2)$における接線を$L_t$とする．また，点$(a,1)$を${\mathrm{Q}}_a$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$L_t$を表す方程式を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{P}{\mathrm{Q}}_a$と直線$L_t$が垂直となるような$t$がちょうど$2$個存在するときの$a$の値を$a_0$とおく．$a_0$を求めよ．またこのとき，線分$\mathrm{P}{\mathrm{Q}}_{a_0}$と直線$L_t$が垂直となる$2$つの$t$の値$t_1\text{，}$$t_2$を求めよ．ただし，$t_1<t_2$とする．

(3)　(2)で定めた$a_0\text{，}$$t_1\text{，}$$t_2$に対して，$(t_1,t_1^2)$を${\mathrm{P}}_0$とおく．${\mathrm{Q}}_{a_0}$$(a_0,1)$を中心，線分${\mathrm{Q}}_{a_0}{\mathrm{P}}_0$を半径とする円と曲線$y=x^2$の共有点が，ちょうど$2$個存在することを示せ．さらに，その$2$個の共有点のうち，${\mathrm{P}}_0$以外の点を${\mathrm{R}}_0$とする．${\mathrm{R}}_0$の座標を求めよ．

(4)　(3)で定めた${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{R}}_0$に対して，線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{R}}_0$と曲線$y=x^2$で囲まれた部分の面積を求めよ．