2024　同志社大　文系学部2月5日実施

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(1)　平面上の$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \text{，}$$\mathrm{\angle ABC}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}$$\mathrm{AB}=3$である．$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{ア}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(2)　正の実数$c$に対して，$t$の$1$次式で表された関数$f(t)$は等式${\displaystyle {\int }_c^x}tf(t)\mathit{dt}$$=x^3+c{x}^2-c^3-5c^2$をみたしている．このとき，定数$c$の値は$c=\text{イ}$である．したがって，$f(t)=at+b$とおくと，定数$a\text{，}$$b$の値はそれぞれ$a=\text{ウ}\text{，}$$b=\text{エ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(3)　例えば，自然数$100$を$2$進法で表すと${1100100}_{(2)}$であり，$3$進法で表すと${10201}_{(3)}$である．$3$進法で${210210}_{(3)}$で表される自然数を$9$進法で表すと$\text{オ}$となる．$p$を$3$以上の自然数とする．$p$進法で表すと$6$桁の数${222222}_{(p)}$となる自然数を，$p^2$進法で表すと$3$桁の数${888}_{(p^2)}$となるとき，$p=\text{カ}$である．$q$を$3$以上の自然数，また$s$を$1\leqq s\leqq q-1\text{，}$かつ，$s\leqq 9$をみたす整数とする．$q^2$進法で$4$桁の数${7777}_{(q^2)}$となる自然数が，$q$進法で$8$桁の数${\mathit{ssssssss}}_{(q)}$となった．このとき$q=\text{キ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(4)　$f(x)={\log }_8(2x-3)\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{\log }_{2}x$とおく．$xy$平面において，$y=g(x)$のグラフを$x$軸方向に$A\text{，}$$y$軸方向に$B$だけ平行移動すると$y=f(x)$のグラフに重なる，すなわち，$f(x)=g(x-A)+B$が成り立つような定数$A\text{，}$$B$の値は$A=\text{ク}\text{，}$$B=\text{ケ}$である．不等式$3{\log }_8(2x-3)$$\leqq 2+{\log }_{2}5+{\log }_{0.5}x$をみたす$x$の値の範囲は，$\text{コ}$である．

【２】　$f(x)=x^3-4x+2$と，$xy$平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．$n$を自然数，$a$を正の実数とし，$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{S_n\}$を(ⅰ)から(ⅲ)のように定める．

(ⅰ)　$a_1=a$とする．

(ⅱ)　曲線$C$上の点${\mathrm{P}}_n$$(a_n,f(a_n))$における$C$の接線を$l_n$としたとき，点${\mathrm{P}}_{n+1}$$(a_{n+1},f(a_{n+1}))$は，曲線$C$と直線$l_n$との共有点のうち，点${\mathrm{P}}_n$$(a_n,f(a_n))$と異なる点である．

(ⅲ)　$S_n$は，$l_n$と$C$に囲まれた部分の面積である．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$上の点${\mathrm{P}}_1$$(a,f(a))$における$C$の接線$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$の式で表せ．

(3)　自然数$n$に対して，$S_n$を$a$を用いて表せ．

(4)　$a=2$のとき，$S_n$が${10}^{100}$を超える自然数$n$のうち，最小のものの値を求めよ．ただし，$0.301<{\log }_{10}2<0.302\text{，}$$0.477<{\log }_{10}3<0.478$である．

【３】　$s\text{，}$$t$を$2$つの正の実数とする．ただし，$s=1$と$t=1$が同時に成り立つことはないとする．平面において，$\mathrm{▵OAB}$は，$1$辺の長さが$1$の正三角形である．$2$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$は$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-s\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=-t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす．線分$\mathrm{AC}$の垂直$2$等分線と線分$\mathrm{BD}$の垂直$2$等分線の交点を$\mathrm{E}$とおく．さらに，線分$\mathrm{AD}\text{，}$線分$\mathrm{OE}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　実数$x$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{OA}}+x\overrightarrow{\mathrm{OB}})=0$のとき，$x$の値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{CD}$の長さを$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(4)　線分$\mathrm{CD}$の長さが$1$のとき，$s\text{，}$$t$の値にかかわらず，$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$は，同一直線上にあることを示せ．また，$\mathrm{CD}$の長さが$1$であり，かつ，$s={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$のとき，線分$\mathrm{LM}$と線分$\mathrm{LN}$の長さの比の値${\displaystyle \frac{\mathrm{LM}}{\mathrm{LN}}}$を求めよ．