2024　南山大　外・総政2月13日実施

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　整式$x^{24}+2x+13$を$x^2-1$で割ったときの余りは$\text{ア}$である．また，このときの商$Q(x)$について，$Q(1)$の値を求めると，$Q(1)=\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$xy$平面上に直線$l\text{：}kx+(k-1)y+5=0$$\text{（}k$は実数）と，原点を中心とする半径$1$の円$C$がある．$l$は$k$の値にかかわらず，定点$\mathrm{A}$を通る．$\mathrm{A}$の座標は$\text{ウ}$である．また，$l$と$C$が接するときの$k$の値をすべて求めると，$k=\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$xy$平面上に直線$l_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+1$と，点$(2,0)$を通り$x$軸とのなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$である直線$l_2$（ただし，傾きは正）がある．$l_2$の方程式は$y=\text{オ}$である．また，$l_1$と$l_2$のなす角を$\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とすると，$\tan \theta =\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　関数$y=3\cdot {(3^{x-1})}^2-2\cdot 3^{x-2}+2\cdot 3^{-3}$$\text{（}-2\leqq x\leqq 1\text{）}$がある．$y$の最小値$m$と最大値$M$を求めると，$m=\text{キ}\text{，}$$M=\text{ク}$である．

【２】　$xy$平面上に，$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2-3$と$C_2\text{：}y=x^2-8x+17$がある．$C_1$上の点$\mathrm{A}(a,a^2-3)$における$C_1$の接線を$l_1$とし，$C_1$と$C_2$の交点を通り$y$軸に平行な直線を$l_2$とする．

(1)　$l_1$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　$l_1$が$C_2$と接するときの，$l_1$の方程式と$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(3)　(2)のとき，$C_1$と$l_1$と$l_2$で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．

(4)　(2)のとき，$\mathrm{A}$を通る傾き$k$の直線を$l_3$とし（ただし，$k<0\text{），}$$l_3$と$C_1$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_2$が$S_1=2S_2$を満たすとき，$k$の値を求めよ．