2024　南山大　法,国際教養2月12日実施

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$a\text{，}$$b$は定数とする．$x$の多項式$P(x)=a{x}^3$$+2x^2$$+x+b$が$x-2$で割り切れるとする．$b$を$a$で表すと，$b=\text{ア}$である．さらに，$P(x)$を$x^2-5x+6$で割ると余りが$3x-6$になるとき，$a$の値は$a=\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，方程式$\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=0$を解くと，$x=\text{ウ}$である．また，$0\leqq x\leqq \pi$のとき，関数$f(x)=\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})-\sin x$の最大値は$\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$5^{1000}$は$699$桁の数である．このとき$5^{100}$は$\text{オ}$桁の数であり，$2^{100}$は$\text{カ}$桁の数である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\leqq 2x+2\\ y\geqq 2x-4\\ y\leqq -2x+4\\ y\geqq -2x-2\end{array}$

の表す領域の面積を$S$とすると$S=\text{キ}$である．また，点$(x,y)$がこの領域内を動くとき，$x+y$の最大値は$\text{ク}$である．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3\sqrt{3}}}$を考える．$x$軸上の点$\mathrm{A}(a,0)$$\text{（}a>0\text{）}$を中心とする円$C$が，点$\mathrm{P}(\sqrt{3},1)$において，曲線$D\text{：}y=f(x)$に接している．ただし，$2$つの曲線が接するとは，共有点をもち，その共有点での接線が一致することをいう．

(1)　$\mathrm{P}$における$D$の接線の方程式を求めよ．

(2)　$a$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{O}$を原点とするとき，$\mathrm{\angle PAO}$を求めよ．

(4)　$C$の$x\leqq a$の部分と$D$と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．