2024　南山大　経営,外国語学部2月11日実施

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　${\displaystyle \frac{5}{4-\sqrt{6}}}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とする．このとき$a$の値は$\text{ア}$であり，$a^2+b^2$の整数部分の値は$\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$\cos {\displaystyle \frac{1}{2}}\alpha =\text{ウ}\text{，}$$\sin {\displaystyle \frac{3}{2}}\alpha =\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　座標平面上に直線$l\text{：}x+2y-10=0$と円$C\text{：}{x}^2+y^2-2x-4y+4=0$がある．$C$の中心と$l$の距離を求めると$\text{オ}$である．また，$l$に関して$C$と対称な円の中心の座標を求めると$\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　不等式$2{\log }_2(x+3)-{\log }_2(2x+6)<0$を解くと，その解は$\text{キ}$である．また，不等式${\log }_2\{2{\log }_2(x+3)-{\log }_2(2x+6)\}<1$を解くと，その解は$\text{ク}$である．

【２】　座標平面上に放物線$C\text{：}y=x^2$と，$C$上の点$\mathrm{P}(p,p^2)$がある（ただし$p>0\text{）．}$$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l_1\text{，}$$\mathrm{P}$を通り$l_1$に垂直な直線を$l_2$とする．

(1)　$l_1$の方程式を，$p$を用いて表せ．

(2)　$l_2$の方程式を，$p$を用いて表せ．

(3)　$l_2$と$C$の共有点のうち$\mathrm{P}$と異なる点の$x$座標を，$p$を用いて表せ．

(4)　$l_2$と$C$で囲まれた部分の面積$S$を，$p$を用いて表せ．

(5)　(4)の$S$が最小となるような$p$と，そのときの$S$を求めよ．