2024　南山大　理工A2月10日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$a$を実数とする．$2$次方程式$x^2-2ax-2a+3=0$が正の実数解と負の実数解をもつような$a$の値の範囲は$\text{ア}$である．また，$2$次方程式$x^2-2ax-2a+3=0$が異なる$2$つの正の実数解をもつような$a$の値の範囲は$\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,0)$と$\mathrm{B}(0,3)$がある．$\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=1:1$である点$\mathrm{P}$が描く図形の方程式を求めると$\text{ウ}$である．また，$\mathrm{AQ}:\mathrm{BQ}=2:1$である点$\mathrm{Q}$が描く図形の方程式を求めると$\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$0\leqq x<\pi$のとき，方程式$2{\sin }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x=3$の解は$x=\text{オ}$である．また，方程式$2{\sin }^{2}x$$+2\sqrt{3}\sin x\cos x=c$が$0\leqq x<\pi$を満たす解をもつような定数$c$の値の範囲は$\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　小さい方から順に並んだ以下の$7$つの値のデータについてその中央値を求めると$\text{キ}$であり，その四分位範囲が$16$であるとき，$a$の値は$a=\text{ク}$である．

$23\text{，}$$25\text{，}$$33\text{，}$$34\text{，}$$36\text{，}$$a\text{，}45$

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$が$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BOC}$$=\mathrm{\angle COA}$$=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{OA}=10\text{，}$$\mathrm{OB}=8\text{，}$$\mathrm{OC}=6$を満たすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(1)　$3$つの内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が定める平面上の点$\mathrm{P}$が，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}\perp \overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}\perp \overrightarrow{b}$を満たすとする．$s\text{，}$$t$を実数とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$とおくとき，$s$と$t$の値を求めよ．

(3)　(2)のとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|$を求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

【３】　関数$f(x)=e^2-e^{2\sqrt{x}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$を考える．

(1)　$x>0$のとき，導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$を解け．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }x{e}^{2x}\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(5)　$0\leqq x<2$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=-\sin (\pi x)$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．