2024　早稲田大学　社会科学部

【１】　連立不等式

$y\leqq -{\displaystyle \frac{2}{3}}x+4\text{，}$$y\geqq x-1\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$

の表す領域を$D$とする．点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，次の問に答えよ．

(1)　領域$D$を座標平面上に図示せよ．

(2)　$-2x+y$の最大値と，そのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

(3)　$2x+y$の最大値と，そのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

(4)　$a$がすべての実数を動くとき，$ax+y$の最大値を$a$で分類せよ．

【２】　$\mathrm{OA}=6\text{，}$$\mathrm{OB}=5\text{，}$$\mathrm{AB}=7$である$\mathrm{▵OAB}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{▵OAB}$の内心を$\mathrm{I}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OI}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

(3)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵OAB}$の垂心を$\mathrm{H}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$s\text{，}$$t$で表せ．

(5)　$s\text{，}$$t$の値を求めよ．

【３】　$n$を$n\geqq 3$である自然数とする．相異なる$n$個の正の数を小さい順に並べた集合$S=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$を考える．$a_1=k$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_i-a_1$$\text{（}i=2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$がすべて$S$の要素となるとき，$a_2$を求めよ．

(2)　(1)のとき，$a_n$を$n$の式で表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{a_i}{a_1}}$$\text{（}i=2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$がすべて$S$の要素となるとき，$a_n$を$n$の式で表せ．