2024　早稲田大学　教育学部

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　${\displaystyle \frac{4}{9}}$を$2$進法の循環小数で表せ．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　$x$座標，$y$座標，$z$座標がすべて整数であるような$xyz$空間の点を格子点と呼ぶ．頂点がすべて格子点であるような$xyz$空間内の正$6$角形の$1$辺の長さの最小値を求めよ．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　$xy$平面上の多角形で，軸はこの多角形の対称軸であり，直線$y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}x$もこの多角形の対称軸であるものを考える．このような多角形の辺の数の最小値を求めよ．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1)$をとる．点$(x,y)$が三角形$\mathrm{OAB}$の周および内部を動くときに点$(x+y,xy)$が動く範囲の面積を求めよ．

【２】　$3$つの複素数$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3$に関する条件$\mathrm{P}$を次のように定める．

$\mathrm{P}$：$\text{「}{z}_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3$はどれも$0$ではなく，互いに異なり，かつ

$\{{z_1}^n|n\text{は整数}\}$$=\{{z_2}^n|n\text{は整数}\}$$=\left\{{z_3}^n\right|n\text{は整数}\}$

である．」

　次の問いに答えよ．

(1)　$3$つの複素数$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3$が条件$\mathrm{P}$を満たしているとする．このとき$\left|z_1\right|=1$であることを示せ．また集合$\{{z_1}^n|n\text{は整数}\}$の要素の個数は有限であることを示せ．

(2)　条件$\mathrm{P}$を満たす$3$つの複素数$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3$のうち，集合$\{{z_1}^n|n\text{は整数}\}$の要素の個数が最小となるものを考える．このとき集合$\{{z_1}^n|n\text{は整数}\}$を求めよ．

【３】　放物線$C\text{：}y=x^2$上に点$\mathrm{P}$$(t,t^2)$をとる．$C$の点$\mathrm{P}$における法線上に点$\mathrm{Q}$を，$\mathrm{PQ}=1$であり，点$\mathrm{Q}$の$y$座標が点$\mathrm{P}$の$y$座標よりも大きくなるようにとる．点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$f(t)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$f(t)$を求めよ．

(2)　$t$が$0\leqq t$の範囲を動くときの$f(t)$の最小値を求めよ．

【４】　$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円を考える．この円周上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{O}$を極，$x$軸の正の部分を始線とする点$\mathrm{P}$の偏角を$\theta$とする．さらに，偏角が$3\theta$となる点$\mathrm{Q}$をこの円周上にとる．点$\mathrm{P}$を通る$x$軸に垂直な直線と点$\mathrm{Q}$を通る$y$軸に垂直な直線の交点を$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するとき，点$\mathrm{R}$の軌跡の概形をかけ．

(2)　(1)の点$\mathrm{R}$の軌跡によって囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　(1)の点$\mathrm{R}$の軌跡によって囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．