2024　早稲田大学　人間科学部

【１】(1)　$x$が実数であるとき，$x(x+1)(x+2)(x+3)$の最小値は$\text{ア}$である．

【１】(2)　次の連立不等式で表される領域の面積は$\text{イ}+\text{ウ}\pi$である．

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\leqq 4\left|x\right|+4\left|y\right|\\ x^2\leqq y^2\end{array}$

【１】(3)　${10}^x=25\text{，}$${100}^y=400$のとき，$3x+6y-2=\text{エ}$である．

【２】　$n$を$2$以上の自然数とする．$1$から$n$までの番号が$1$つずつ付けられた$n$個の玉が中身の見えない袋に入っている．袋の中から$1$個の玉を選んで番号を確認して袋に戻すという操作を$n$回繰り返す．この$n$回の操作の中で，$1$から$n-1$までのいずれの番号の玉も選ばれているとき，番号が$n$の玉も選ばれている条件付き確率を$P(n)$とすると，$P(3)={\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}\text{，}$$P(50)={\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$である．

【３】　直方体$\mathrm{OABC‐DEFG}$における各辺の長さは，

$\mathrm{OA}=\mathrm{CB}=\mathrm{DE}=\mathrm{GF}=1$

$\mathrm{AB}=\mathrm{OC}=\mathrm{EF}=\mathrm{DG}=\sqrt{2}$

$\mathrm{OD}=\mathrm{AE}=\mathrm{BF}=\mathrm{CG}=\sqrt{3}$

である．点$\mathrm{B}$から$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{G}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}\overrightarrow{\mathrm{OE}}+{\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と表すことができ，${\left|\overrightarrow{\mathrm{BH}}\right|}^2={\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}$である．

【４】　$2$点$\mathrm{A}$$(1,0,1)$と$\mathrm{B}$$(2,\sqrt{3},1)\text{，}$および，$xy$平面上を自由に動く$2$つの点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$があり，$l=\mathrm{AP}+\mathrm{BQ}+{\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{2}}$とする．$l$が最小値をとるとき，点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を通る$xy$平面上の直線の方程式は$y=\sqrt{\text{ソ}}x-\sqrt{\text{タ}}$であり，$l$の最小値は$\text{チ}+\sqrt{\text{ツ}}$である．

【５】　$n$を$2$以上の自然数とする．座標平面において，原点を中心とする半径$n$の円$C_n$の内側を半径$1$の円$C$が滑らずに転がるとき，円$C$上の定点$\mathrm{P}$の軌跡について考える．時刻$t$において，$2$つの円$C$と$C_n$は点$(n\cos t,n\sin t)$で接している．また，時刻$t=0$において，点$\mathrm{P}$は点$(n,0)$にある．$t$が$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡の長さを$L_n$とする．このとき，$L_2=\text{テ}$である．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{L}_n=\text{ト}$である．

【４】　$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2$が$x=-2$で極値をとり，その値が$1$であるとき，定数$a\text{，}$$b$の値は$a=\text{ソ}\text{，}$$b=\text{タ}$である．このとき，曲線$y=f(x)$上の点$(t,f(t))$における接線の傾きは，$t={\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}}$のとき，最小値${\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}}}$をとる．

【５】　$2$点$\mathrm{A}$$(-\sqrt{2}-\sqrt{6},\sqrt{2}-\sqrt{6})\text{，}$$\mathrm{B}$$(\sqrt{2}+\sqrt{6},\sqrt{2}-\sqrt{6})$と原点$\mathrm{O}$$(0,0)$について$\theta =\mathrm{\angle AOB}$とするとき．$\theta ={\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}\pi$である．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．さらに円$x^2+y^2-2x-10y+22=0$を$C$とする．円$C$上の点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は$\mathrm{\angle APB}=\mathrm{\angle AQB}={\displaystyle \frac{5}{12}}\pi$を満たす点とする．このとき，$\mathrm{PQ}=\text{ヌ}\sqrt{{\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}}}$である．