2024　早稲田大学　理工系学部

【１】　円$C\text{：}{x}^2+{(y-1)}^2=1$に接する直線で，$x$切片，$y$切片がともに正であるものを$l$とする．$C$と$l$と$x$軸により囲まれた部分の面積を$S\text{，}$$C$と$l$と$y$軸により囲まれた部分の面積を$T$とする．$S+T$が最小となるとき，$S-T$の値を求めよ．

【２】　$n$を自然数とし，数$1\text{，}$$2\text{，}$$4$を重複を許して$n$個並べてできる$n$桁の自然数全体を考える．そのうちで$3$の倍数となるものの個数を$a_n\text{，}$$3$で割ると$1$余るものの個数を$b_n\text{，}$$3$で割ると$2$余るものの個数を$c_n$とする．

(1)　$a_{n+1}$を$b_n\text{，}$$c_n$を用いて表せ．同様に，$b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$c_n$を用いて，$c_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$を用いて表せ．

(2)　$a_{n+2}$を$n$と$c_n$を用いて表せ．

(3)　$a_{n+6}$を$n$と$a_n$を用いて表せ．

(4)　$a_{6m+1}$$\text{（}m=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$を$m$を用いて表せ．

【３】　点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とし，辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}\text{，}$$\mathrm{U}$とする．

(1)　辺$\mathrm{PS}\text{，}$$\mathrm{QT}\text{，}$$\mathrm{RU}$が$1$点で交わることを示せ．

(2)　${\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{BC}}^2={\mathrm{OB}}^2+{\mathrm{CA}}^2={\mathrm{OC}}^2+{\mathrm{AB}}^2$のとき，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}\text{，}$$\mathrm{U}$が同一球面上にあることを示せ．

(3)　(2)において，辺$\mathrm{PS}$が辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{BC}$と直交するとし，辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{BC}$の長さをそれぞれ$a\text{，}$$k$とする．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}\text{，}$$\mathrm{U}$を頂点とする八面体の体積$V$を$a$と$k$を用いて表せ．

(4)　(3)において，$k=1$のとき八面体の体積$V$の最大値を求めよ．

《注》(4)で「設問の記述に不備があった」との注記あり

【４】　$2$つのチーム$\mathrm{W}\text{，}$$\mathrm{K}$が$n$回試合を行う．ただし，$n\geqq 2$とする．各試合での$\mathrm{W}\text{，}$$\mathrm{K}$それぞれの勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$とし，引き分けはないものとする．$\mathrm{W}$が連敗しない確率を$p_n$とする．ただし，連敗とは$2$回以上続けて負けることを言う．

(1)　$p_3$を求めよ．

(2)　$p_{n+2}$を$p_{n+1}$と$p_n$を用いて表せ．

(3)　以下の$2$式を満たす$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよ．ただし，$\alpha <\beta$とする．

$p_{n+2}-\beta p_{n+1}=\alpha (p_{n+1}-\beta p_n)$

$p_{n+2}-\alpha p_{n+1}=\beta (p_{n+1}-\alpha p_n)$

(4)　$p_n$を求めよ．

【５】　$xy$平面上において，以下の媒介変数表示をもつ曲線を$C$とする．

$\{\begin{array}{l}x=\sin t+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2t\\ y=-\cos t-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2t-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

ただし，$0\leqq t\leqq \pi$とする．

(1)　$y$の最大値，最小値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}}<0$となる$t$の範囲を求め，$C$の概形を$xy$平面上に描け．

(3)　$C$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．