2024　東邦大学　理学部C日程

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$p$を実数とし，$\overrightarrow{a}=(1,3)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(16-p,p)$とする．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が平行となるとき$p=\text{ア}$であり，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が垂直となるとき$p=\text{イ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　$3$次方程式$2x^3-5x-1=0$の$3$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$とすると，$\alpha +\beta +\gamma$の値は$\text{ウ}$である．また

${\displaystyle \frac{1}{(1-\alpha )(1-\beta )}}$$+{\displaystyle \frac{1}{(1-\beta )(1-\gamma )}}$$+{\displaystyle \frac{1}{(1-\gamma )(1-\alpha )}}$

の値は$\text{エ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　$1$から$100$までの自然数の中で，$2$でも$3$でも割り切れない数は$\text{オ}$個あり，$2$では割り切れるが$3$でも$5$でも割りきれない数は$\text{カ}$個ある．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　$f(x)={\log }_3{x}^4-{\log }_{x}9$$\text{（}x>0\text{，}$$x\ne 1\text{）}$とするとき，${\log }_{3}x=t$とおくことで$f(x)$を$t$の式で表すと$\text{キ}$である．また，方程式$f(x)=1$の解のうち，最も小さなものは$x=\text{ク}$である．

【２】　$-1\leqq x\leqq 1$を定義域とする関数

$F(x)={\displaystyle {\int }_1^x}(t^2—pt)\mathit{dt}$

を考える．ただし，$p$は$0<p<1$を満たす定数とする．次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$F^{\prime }(x)=\text{ケ}$である．

(ⅱ)　方程式$F^{\prime }(x)=0$の解は$x=0$と$x=\text{コ}$である．

(ⅲ)　$F(1)-F(0)=\text{サ}$である．

(ⅳ)　$F(x)$は，$0<p\leqq \text{シ}$のとき最大値$\text{ス}$をとり，$\text{シ}<p<1$のとき最大値$\text{セ}$をとる．

【３】　座標平面上に$2$点$\mathrm{P}(1,1)\text{，}$$\mathrm{Q}(1,3)$と，原点を通る傾き$m$の直線$l\text{：}y=mx$がある．次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$を通り，直線$l$に垂直な直線と，直線$l$の交点の座標は$\text{ソ}$である．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$と直線$l$の距離を$s\text{，}$点$\mathrm{Q}$と直線$l$の距離を$t$するとき，${\displaystyle \frac{s^2+t^2}{2}}$を$m$の式で表すと$\text{タ}$である．

(ⅲ)　$f(m)=\text{タ}$とする．$f(m)=1$となるのは，$m=\text{チ}$のときである．

(ⅳ)　$k$を実数とする．$m$についての方程式$f(m)=k$が実数解をもつための$k$の範囲は

$\text{ツ}\leqq k\leqq \text{テ}$

である．

(ⅴ)　$f(m)$が最小となるのは，$m=\text{ト}$のときである．