2024　東邦大学　理学部B日程英数択一MathJax

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}(x^2+c)$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

について考える．次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　関数$f(x)$の逆関数は$g(x)=\text{ク}$である．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$は直線$y=\text{ケ}$について対称であり，さらに関数$f(x)$が単調増加であることから，$2$曲線が共有点を持つとき，共有点は必ずこの直線上に存在する．

(ⅲ)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が異なる$2$点を共有するための$c$の範囲は$\text{コ}$である．

(ⅳ)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が異なる$2$点を共有するとする．片方の共有点の$x$座標が$x=1$であるとき，$c=\text{サ}$であり，もう一方の共有点の$x$座標は$x=\text{シ}$である．また，このとき$2$曲線で囲まれた領域の面積は$\text{ス}$となる．

(ⅰ)　実数$a\text{，}$$b$に対し，$f(a+b)$を$f(a)$と$f(b)$を用いて表せ．ただし，分数の分母や分子にさらに分数を含む形（いわゆる繁分数）ではなく，整理された形で表せ．

(ⅱ)　$\underset{x\to 0}{\lim }xf(x)=1$を示せ．ただし，$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$は事実として用いてよい．

(ⅲ)　(ⅱ)の結果を用いることで，$f(x)$の導関数が$-1-{\{f(x)\}}^2$となることを導関数の定義に基づいて示せ．

(ⅳ)　不定積分${\displaystyle \int }{(f(x)\}}^2\mathit{dx}$を求めよ．