2024　東邦大学　理学部B日程共通

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次方程式$x^2-3x+7=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，$(\alpha +3\beta )(\beta +3\alpha )=\text{ア}$であり，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha -1}}+{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta -1}}=\text{イ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　$n$を自然数とする．このとき，$0\leqq x\leqq y\leqq n$を満たす整数の組$(x,y)$の個数は$\text{ウ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき関数$y={\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta$を考える．$\sin \theta +\cos \theta =t$とおいたとき，$t$の取りうる範囲は$\text{エ}$であり，$y$を$t$のみを用いて表すと$y=\text{オ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　赤，白，黒の球がそれぞれ$4$個ずつ合計$12$個の球が入った箱から同時に球を$3$個取り出す．このとき，$2$つが同じ色で$1$つが異なる色となる確率は$\text{カ}$である．また，$3$つとも異なる色となる確率は$\text{キ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅴ)　方程式$\sqrt{x^2}+2\sqrt{x^2-4x+4}=x+2$の解のうち値が最小のものは$x=\text{ク}$である．

【２】　$p$を実数とする．座標平面において，関数$y=x^3+p{x}^2+x$で表される曲線を$C_1$とし，関数$y=-x^2$で表される曲線を$C_2$とする．次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　曲線$C_1$と$C_2$の共有点が，原点以外にただひとつ存在し，それが$x>0$の範囲にあるとき，その共有点の$x$座標は$\text{ケ}$である．このとき，$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積は$\text{コ}$である．

(ⅱ)　曲線$C_1$と$C_2$の共有点が，原点以外にただひとつ存在し，それが$x<0$の範囲にあるとき，$p$の値は$\text{サ}$であり，その共有点の$x$座標は$\text{シ}$である．

(ⅲ)　曲線$C_1$と$C_2$の共有点が，原点以外にちょうどふたつ存在し，どちらも$x>0$の範囲にあるとき，その共有点の$x$座標を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$\beta =2\alpha$を満たすとき，$\beta$の値は$\text{ス}$であり，$\alpha \leqq x\leqq \beta$の範囲で$C_1$と$C_2$によって囲まれる部分の面積は$\text{セ}$である．

【３】　右図の長方形$\mathrm{OACB}$において，$\mathrm{OA}=1$および$\mathrm{OB}=2$とする．半直線$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}\text{，}$半直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{R}$をとり，直線$\mathrm{OR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

　$\mathrm{OQ}=s\text{，}$$\mathrm{BR}=t$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を，$s$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(ⅲ)　$\mathrm{AQ}\perp \mathrm{OR}$のとき，$t=2s$であることを示せ．

　以下では$\mathrm{AQ}\perp \mathrm{OR}$とする．

(ⅳ)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$s$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(ⅴ)　(ⅳ)での$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の式において，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の係数の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．