2024　東邦大学　医学部医学科

2024-13460-0201

2024　東邦大学　医学部医学科

2月6日実施

易□　並□　難□

【１】　 $a = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} ，$ $b = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ のとき， $a^{2} + b^{2} = アイ$ および $a^{5} + b^{5} = ウエオ$ である．

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【２】　白玉 $7$ 個，青玉 $3$ 個が入っている袋から，玉を $1$ 個ずつ $3$ 回続けて取り出す．ただし，取り出した玉はもとに戻さないものとする． $3$ 回目に取り出した玉が青玉である確率は $\frac{カ}{キク}$ である． $3$ 回目に取り出した玉が青玉であるときに， $1$ 回目と $2$ 回目に取り出した $2$ 個の玉が，青玉と白玉それぞれ $1$ 個ずつである確率は $\frac{ケ}{コサ}$ である．

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【３】　 $\sqrt{\frac{n^{2}}{4} + 104}$ が自然数となるような整数 $n$ で最大のものは $シス$ である．

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【４】　 $a$ を $0$ でない定数として， $2$ つの分数関数 $f (x) = \frac{3 x}{2 x + a}$ と $g (x) = \frac{2 x}{x + 9}$ を考える． $f (x)$ と， $f (x)$ の逆関数が一致するような $a$ の値は $a = セソ$ である．

　また， $2$ つの合成関数 $g (f (x))$ と $f (g (x))$ が一致するような $a$ の値は $a = タチ$ である．

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【５】　関数 $f (x) = (1 - 2 x + 3 x^{2} - 4 x^{3}) e^{x}$ を考える． $n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots$ に対して， $f (x)$ を $n$ 回微分して得られる関数 $f^{(n)} (x)$ を

$f^{(n)} (x) = (a_{n} + b_{n} x + c_{n} x^{2} + d_{n} x^{3}) e^{x}$

と表す．このとき，数列 ${c_{n}}$ は公差が $アイウ$ の等差数列である．また， $\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{n^{2}} = エオカ$ が成り立つ．

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【６】　 $k$ を実数とする． $x, y$ 平面において，不等式 $x^{2} - 2 k x + y^{2}$ $- 4 (k - 3) y$ $+ 5 k^{2}$ $- 24 k$ $+ 34 ≦ 0$ の表す領域を $D_{1} ，$ 不等式 $y^{2} - x^{2} ≦ 0$ の表す領域を $D_{2}$ とする．領域 $D_{1}$ は円の内部および周上の点全体の集合であり，この円の中心は直線 $y = キク + ケ x$ 上にある．領域 $D_{1}$ が領域 $D_{2}$ に含まれるような実数 $k$ の値の範囲は $\frac{コ}{サ} ≦ k ≦ シ$ である．

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【７】　四角形 $ABCD$ において， $AB = DA = AC = \sqrt{2} ，$ $BC = CD = 1$ とする．このとき， $\cos ∠BAC = \frac{ス}{セ}$ である．また，辺 $BC ，$ $DA$ の中点をそれぞれ $E ，$ $F$ とすると， $EF = \frac{\sqrt{ソタ}}{チ}$ である．

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【８】　曲線 $y = f (x)$ の媒介変数表示は， $x = \frac{1}{2} (t + \frac{1}{t}) ，$ $y = \log t$ $（ t ≧ 1 ）$ で与えられる．このとき方程式 $f (x) = 2 f (5)$ の解は $x = アイ$ である．また，曲線 $y = f (x)$ の $2 ≦ x ≦ 7$ の部分の長さは $ウ \sqrt{エ}$ である．

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【９】　平面上に $1$ 辺の長さが $2$ の正三角形 $ABC$ と点 $P$ があり，正三角形 $ABC$ の重心 $G$ に対して $| \vec{AP} + \vec{AG} | - | \vec{AP} - \vec{AG} |$ $= \frac{1}{2} | \vec{AB} + \vec{AC} |$ を満たす．

　 $a > 0$ のとき， $\vec{AP} = a \vec{AG}$ となる $a$ の値は $a = \frac{オ}{カ}$ である．

　 $b > 0$ のとき， $\vec{AP} = b \vec{AB}$ となる $b$ の値は $b = \frac{\sqrt{キ}}{ク}$ である．

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【10】　 $2$ つの定数 $a ，$ $b$ があり， $x > - 1$ を満たすすべての実数 $x$ に対して ${(x + 1)}^{- \frac{4}{5}} ≧ a x + 1$ および ${(x + 1)}^{\frac{1}{5}} ≦ b x + 1$ が成り立つ．このとき， $a = \frac{ケコ}{サ} ，$ $b = \frac{シ}{ス}$ である．

　不等式 ${(1 + \frac{1}{4})}^{\frac{1}{5}} ≦ 1 + \frac{n}{1000}$ を成り立たせるような最小の自然数 $n$ は $n = セソ$ である．

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