2024　東京理科大学　総合型選抜

【１】　数列$\{a_n\}$は$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定義される．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

(2)　放物線$y=(x-a_n)(x-a_{n+1})$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$は等比数列となることを示し，公比を求めなさい．必要ならば，${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )\mathit{dx}$$=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(\alpha -\beta )}^3$を用いてよい．

【２】　$n$個のデータ$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$の平均値$\bar{x}$と分散$V_x$は次の式で定義される．

$$

$\bar{x}={\displaystyle \frac{1}{n}}(x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n)$

$V_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\{{(x_1-\bar{x})}^2+{(x_2-\bar{x})}^2+{(x_3-\bar{x})}^2$$+\cdots +{(x_n-\bar{x})}^2\}$

(1)　$V_n={\displaystyle \frac{1}{n}}({x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+\cdots +{x_n}^2)-{(\bar{x})}^2$が成り立つことを示しなさい．

(2)　$m$個のデータ$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$y_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$y_m$の平均値を$\bar{y}\text{，}$分散を$V_y$とする．$\bar{x}<\bar{y}\text{，}$$V_x<V_y$が成り立っているとき，次の$2$つの命題の真偽をそれぞれ答えなさい．真の場合は成り立つことを証明し，偽の場合は反例を挙げなさい．

(ア)「$(m+n)$個のデータ$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n\text{，}$$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$y_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$y_m$の平均値を$M$とすると，$\bar{x}<M<\bar{y}$が成り立つ．」

(イ)「$(m+n)$個のデータ$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n\text{，}$$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$y_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$y_m$の分散を$V$とすると，$V_x<V<V_y$が成り立つ．」