2024　東京理科大学　理学部数,応用数学科B方式2月5日実施

【１】　次の(1)から(6)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2$桁の数を表し，$$は$3$桁の数を表すものとする．分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表し，根号を含む解答では，根号の中に現れる自然数は最小になる形で表すこととする．なお，問題文中に$\text{ア}$などが$2$度以上現れる場合，$2$度目以降は，$\text{ア}$のように網掛けで表記する．$\text{あ}\text{，}$$\text{い}$については，$+$または$-$のうちあてはまるものをマークせよ．

　$a$を実数とする．実数$x$に対し，無限等比級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{{(3x^2+2x+1)}^k}}$と関数$f(x)=-3x^2-2x+a$を考える．

(1)　無限等比級数が収束するような$x$の値の範囲は

$x<-{\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\text{，}$$\text{ウ}<x$

である．また，そのときの和を$g(x)$とすると

$g(x)={\displaystyle \frac{1}{\text{エ}{x}^2+\text{オ}x}}$

である．

　以下，(2)から(6)の$g(x)$は(1)で得られたものとする．

(2)　$s$と$t$を$s<-{\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\text{，}$$\text{ウ}<t$とするとき，$g(s)=g(t)$となるのは，

$s=\text{あ}{\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}\text{い}t$

のときである．

(3)　(1)で得られた範囲において，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が異なる$2$個の共有点をもつのは$a=\text{ク}$のときのみであり，その共有点の$x$座標は$-\text{ケ}$と${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$である．

(4)　(1)で得られた範囲において，曲線$y=-6x^2-4x+3$と$y=g(x)$は$4$個の共有点をもち，その共有点の$x$座標を小さい順に$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$x_4$とすると

$x_1=-\text{シ}\text{，}$$x_2={\displaystyle \frac{-\text{ス}-\sqrt{\text{セ}\text{ソ}}}{\text{タ}}}\text{，}$

$x_3={\displaystyle \frac{-\text{チ}+\sqrt{\text{ツ}\text{テ}}}{\text{ト}}}\text{，}$$x_4={\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}$

である．

(5)　曲線$y=g(x)$と$x$軸および$2$直線$x=-1\text{，}$$x=-100$で囲まれた部分の面積を$S_{100}$とする．このとき，$S_{100}={\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}}}\log \left({\displaystyle \frac{\text{ノ}\text{ハ}\text{ヒ}}{\text{フ}\text{ヘ}}}\right)$である．

(6)　$2$以上の自然数$n$に対し，曲線$y=g(x)$と$x$軸および$2$直線$x=-1\text{，}$$x=-n$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }2S_n=\log (\text{ホ})$である．

【２】　関数$p(x)=8{(x-2)}^2$と$1$次関数$q(x)$について考える．方程式$p(x)=q(x)$の解は$x=1$と$x=a$である．ただし，$a$は実数とし，$a=1$のとき，$x=1$は重解となる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p(x)-q(x)$を因数分解せよ．

(2)　$f(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|p(x)-q(x)|\mathit{dx}$とする．$f(a)$を求めよ．

　以下，$f(a)$は(2)で求めたものとする．

(3)　$-1\leqq a\leqq 2$のとき，$f(a)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．

(4)　$b$を実数とする．$a$についての方程式$f(a)=b$が異なる$2$つの正の実数解をもつとき，$b$の値の範囲を求めよ．

(5)　$c$を整数とする．$a$についての方程式$f(a)=c$が異なる$2$つの正の実数解をもつとき，$a$の値と関数$q(x)$を求めよ．