2024　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施

【１】　$1$から$12$までの番号が$1$つずつ書かれた同じ大きさの$12$枚の札が入った袋がある．この袋の中から札を$1$枚取り出し，札に書かれた番号を調べて札を袋にもどす試行を考える．試行を$1$回行い，取り出した札の番号が$4$の倍数であるという事象を$A$とする．

(1)　事象$A$が$2$回起こったとき，それ以上試行をくり返さず終了する．ただし，$100$回目までに事象$A$が$2$回起こらなかった場合には，それ以上試行をくり返さず終了するものとする．なお，$\text{”}n$回目まで”とは，$1$回目，$2$回目，$\cdots \text{，}$$n$回目のことである．

(a)　ちょうど$5$回目の試行で終了する確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}\text{イ}}{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}}$である．

(b)　$5$回目までに試行を終了する確率は${\displaystyle \frac{\text{カ}\text{キ}}{\text{ク}\text{ケ}\text{コ}}}$である．

(2)　事象$A$が続けて$2$回起こるまで試行をくり返す．事象$A$が続けて$2$回起こったとき，それ以上試行をくり返さず終了する．また，事象$A$が続けて$2$回起こらなかったとき，それ以上試行をくり返さず終了する．ちょうど$n$回目$\text{（}n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$\cdots \text{）}$の試行で事象$A$が起こって終了する確率を$p_n$とする．

(a)　$100$回を限度として試行をくり返す．このとき，$p_6={\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}\text{ス}\text{セ}\text{ソ}}}$である．

(b)　$P_m={\displaystyle \sum _{n=2}^m}{p}_n$$\text{（}m=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$\cdots \text{）}$とすると，$\underset{m\to \infty }{\lim }{P}_m={\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}\text{ツ}}}$である．

【２】　座標空間において，$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(1,-2,1)\text{，}$$\mathrm{B}(-1,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}(1,0,1)$があり，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で定まる平面を$\alpha$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積の値は$-\text{ア}$であり，$\cos \mathrm{\angle AOB}=-{\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウ}}}\sqrt{\text{エ}}$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直なベクトルの$1$つは$(\text{オ},\text{カ},1)$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}\sqrt{\text{ケ}\text{コ}}$である．

(2)　点$\mathrm{C}$を通り平面$\alpha$に垂直な直線を$l$とする．平面$\alpha$と直線$l$の共有点を$\mathrm{P}$とすると，点$\mathrm{P}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}},-{\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}},{\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}})$

であり，$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の大きさは${\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}}\sqrt{\text{テ}\text{ト}}$である．

(3)　線分$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$0<q<1$とする．線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{AB}$が垂直になるのは，点$\mathrm{Q}$の座標が

$({\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}\text{ヌ}}},-{\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}\text{ハ}}},\text{ヒ})$

のときであり，このとき$q={\displaystyle \frac{\text{フ}}{\text{ヘ}\text{ホ}}}$である．

【３】　$i$を虚数単位とし，$z=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．

(1)　${\displaystyle \sum _{n=1}^5}{z}^n=-\text{ア}\text{，}$${\displaystyle \sum _{n=1}^5}{z}^{2n}=-\text{イ}$であり，${\displaystyle \sum _{n=1}^5}{z}^{3n}=-\text{ウ}$である．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^5}n{z}^n=-\text{エ}-\text{オ}\sqrt{\text{カ}}i\text{，}$${\displaystyle \sum _{n=1}^5}(2n)z^{2n}=-\text{キ}-\text{ク}\sqrt{\text{ケ}}i$であり，${\displaystyle \sum _{n=1}^5}(3n)z^{3n}=-\text{コ}$である．また，

${\displaystyle \sum _{n=1}^6}(2n-1)z^{2n-1}=-\text{サ}\sqrt{\text{シ}}i$

である．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^5}{\displaystyle \frac{1}{1-z^n}}={\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}$である．

【４】　$n$を自然数とし，関数$f_n(x)=x^{-n}\log x$$\text{（}x>0\text{）}$とする．座標平面上の曲線$C\text{：}y=f_n(x)$上の点$(a,f_n(a))$における接線$l$が，座標平面の原点を通るという．ただし，$\log$は自然対数を表し，文中の$e$は自然対数の底を表す．

(1)　接線$l$の傾きは${\{(\text{ア}n+\text{イ})e\}}^{-\text{ウ}}$である．

(2)　$I_n={\displaystyle {\int }_1^a}{f}_n(x)\mathit{dx}$とすると

$I_1={\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}\text{，}$$I_{10}={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}\text{ク}}}-{\displaystyle \frac{\text{ケ}\text{コ}}{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}}{e}^{-\frac{\text{セ}}{\text{ソ}\text{タ}}}$

である．

　$n=5$とする．このとき，曲線$C$と接線$l$および$x$軸によって囲まれた領域（境界を含む）を$D$とする．

(3)　領域$D$の面積は

${\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}\text{テ}}}{e}^{-\frac{\text{ト}}{\text{ナ}}}-{\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ツ}\text{テ}}}$

である．また，領域$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は

$({\displaystyle \frac{\text{ヌ}\text{ネ}}{\text{ノ}\text{ハ}\text{ヒ}}}{e}^{-\frac{\text{フ}}{\text{ヘ}}}-{\displaystyle \frac{\text{ホ}}{\text{ノ}\text{ハ}\text{ヒ}}})\pi$

である．

《編注》問題冒頭に$\text{「}\text{ア}$は既出の$\text{ア}$を表します」とある．