2024　東京理科大学　工学部B方式2月8日実施

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　表と裏が等しい確率で出る硬貨がある．以下の問いに答えなさい．

(a)　この硬貨を$10$回投げたとする．表がちょうど$5$回出る確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}\text{イ}}{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}}$であり，表が$5$回以上出る確率は${\displaystyle \frac{\text{カ}\text{キ}\text{ク}}{\text{ケ}\text{コ}\text{サ}}}$である．

(b)　この硬貨を$n$回投げたとする．表が$5$回以上出る確率が$0.7$以上となる最小の自然数$n$は，$n=\text{シ}\text{ス}$である．

(c)　この硬貨を$2m$回投げたとき，表がちょうど$m$回出る確率を$P_m$とし，表が$m$回以上出る確率を$Q_m$とすると

$Q_{2023}-Q_{2024}={\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}\text{タ}\text{チ}\text{ツ}}}{P}_{2023}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　座標平面において，媒介変数$\theta$$\text{（}-\pi \leqq \theta \leqq \pi \text{）}$によって表された曲線

$\{\begin{array}{l}x=\theta -\sin \theta \\ y=1-\cos \theta \end{array}$

を$C$として，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のときの$C$の接線を$l\text{，}$接点を$\mathrm{A}\text{，}$$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．以下の問いに答えなさい．

(a)　$\mathrm{A}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\pi }{\text{ア}}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{イ}}}{\text{ウ}}},{\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}})$

であり，$l$の方程式は

$y=\sqrt{\text{カ}}x+\text{キ}-{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ク}}}{\text{ケ}}}\pi$

である．

(b)　原点から$\mathrm{A}$までの曲線$C$の長さは$\text{コ}-\text{サ}\sqrt{\text{シ}}$である．

(c)　線分$\mathrm{AB}\text{，}$$y$軸，$C$によって囲まれた部分の面積は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ス}}}{\text{セ}}}+{\displaystyle \frac{\pi }{\text{ソ}}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{タ}}}{\text{チ}\text{ツ}}}{\pi }^2$

である．

(d)　$C$と直線$y=2$によって囲まれた部分を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は

${\displaystyle \frac{{\pi }^3}{\text{テ}}}-{\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}}}\pi$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$はいずれも自然数で$a\leqq b\leqq c\leqq d$とする．以下の問いに答えなさい．

(a)　等式

${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

をみたす$a\text{，}$$b$の組は

$(a,b)=(\text{ア},\text{イ}\text{ウ})\text{，}$$(\text{エ},\text{オ}\text{カ})\text{，}$$(\text{キ},\text{ク})$

である．ただし$\text{ア}<\text{エ}$とする．

(b)　等式

${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

をみたす$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の組の総数は$\text{ケ}$である．そのうち$a$が最大となる組は

$(a,b,c)=(\text{コ},\text{サ},\text{シ})$

であり，$c$が最大となる組は

$(a,b,c)=(\text{ス},\text{セ},\text{ソ}\text{タ})$

である．

(c)　等式

${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}+{\displaystyle \frac{1}{d}}=1$

をみたす$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の組の総数は$\text{チ}\text{ツ}$である．

【２】　以下の問いに答えなさい．ただし，空欄$\text{(あ)}\text{〜}$$\text{(く)}$については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　座標平面上の楕円${\displaystyle \frac{x^2}{5}}+{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1$を$C$として，直線$y=x+k$を$l$とする．ただし$k$は定数とする．

(1)　$C$と$l$が共有点をもつとき，$k$がとり得る値の範囲は

$\text{(あ)}\leqq k\leqq \text{(い)}$

である．

　$C$と$l$が接するような$k$の値は$2$つある．そのとき，小さい方の$k$の値に対応する接点を$\mathrm{P}$として，大きい方に対応する接点を$\mathrm{Q}$とする．

(2)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標は

$\mathrm{P}(\text{(う)},\text{(え)})\text{，}$$\mathrm{Q}(\text{(お)},\text{(か)})$

である．

　$C$と$l$が$2$つの共有点をもつとき，それらを点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$とする．

(3)　直線$\mathrm{PQ}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{PR}$の長さを$k$を用いて表すと$\text{(き)}$である．

(4)　座標空間内の$xy$平面に上述の図形がすべてのっているものとする．$z$座標が正の点$\mathrm{H}$を，$\mathrm{H}$を通り$z$軸と平行な直線が$l$と交わり，かつ，三角形$\mathrm{ABH}$が正三角形になるようにとる．(1)で求めた範囲で$k$を動かすとき，三角形$\mathrm{ABH}$が通過してできる立体の体積は$\text{(く)}$である．なお，$\text{(く)}$の値を導く過程も所定の場所に書きなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．ただし，空欄$\text{(あ)}\text{〜}$$\text{(こ)}$については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　四面体$\mathrm{OABC}$において

・$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$

・$\mathrm{OA}\perp \mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OB}\perp \mathrm{OC}\text{，}$$\mathrm{OC}\perp \mathrm{OA}$

が成り立つとする．辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$を，それぞれ$k:(1-k)$に内分する点を$\mathrm{M}$および$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{MN}$の中点を$\mathrm{L}$とする．ただし，$0<k<1$とする．また，三角形$\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\mathrm{L}$から直線$\mathrm{CG}$に下ろした垂線と$\mathrm{CG}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，それぞれ$k$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{OL}}=\text{(あ)}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{(い)}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\text{(う)}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\text{(え)}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{(お)}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\text{(か)}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

である．

　四面体$\mathrm{OABC}$を$3$点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る平面で切ったときの断面積を$S(k)$とする．

(2)　$3$点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る平面に$\mathrm{O}$が含まれるときの$S(k)$の値は$\text{(き)}\text{，}$この$S(k)$を与える$k$の値は$\text{(く)}$である．

(3)　$k$が$0<k<1$の範囲を動くときの$S(k)$の最大値は$\text{(け)}\text{，}$$S(k)$の最大値を与える$k$の値は$\text{(こ)}$である．なお，$\text{(け)}\text{，}$$\text{(こ)}$の値を導く過程も所定の場所に書きなさい．