2024　東京理科大学　理学部B方式2月5日実施

【１】　次の(1)から(4)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．また，分数は既約分数として表すものとする．

(1)

${\displaystyle {\int }_3^5}{(x-3)}^3{(5-x)}^5\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\text{ア}\text{イ}}{\text{ウ}\text{エ}}}$

である．

【１】　次の(1)から(4)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．また，分数は既約分数として表すものとする．

(2)

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(\tan {\displaystyle \frac{x}{3}})}^3\mathit{dx}+{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(\tan {\displaystyle \frac{x}{3}})}^5\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\text{オ}\text{カ}}{\text{キ}}}$

である．

【１】　次の(1)から(4)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．また，分数は既約分数として表すものとする．

(3)　平面上の異なる$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{P}$は等式$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+3\overrightarrow{\mathrm{BP}}+2\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$を満たすとする．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{\text{ク}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\text{ケ}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\text{コ}}}$

である．また，三角形$\mathrm{ABP}\text{，}$三角形$\mathrm{BCP}\text{，}$三角形$\mathrm{CAP}$の面積をそれぞれ，$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3$とすると，

${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}={\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{S_3}{S_1}}={\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}$

である．

【１】　次の(1)から(4)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．また，分数は既約分数として表すものとする．

(4)　空間内の異なる$5$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{P}$は等式$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+3\overrightarrow{\mathrm{BP}}+2\overrightarrow{\mathrm{CP}}+6\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\overrightarrow{0}$を満たすとする．また，$3$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を通る平面$\mathrm{BCD}$と直線$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，直線$\mathrm{DQ}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AR}}={\displaystyle \frac{\text{ソ}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\text{タ}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\text{チ}}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}={\displaystyle \frac{\text{ツ}\overrightarrow{\mathrm{AR}}+\text{テ}\overrightarrow{\mathrm{AD}}}{\text{ト}\text{ナ}}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{\text{ニ}\text{ヌ}}{\text{ネ}\text{ノ}}}\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$

である．また，四面体$\mathrm{ABRQ}\text{，}$四面体$\mathrm{PBQD}\text{，}$四面体$\mathrm{PRCQ}\text{，}$四面体$\mathrm{ACDQ}$の体積をそれぞれ，$V_1\text{，}$$V_2\text{，}$$V_3\text{，}$$V_4$とすると，

${\displaystyle \frac{V_2}{V_1}}={\displaystyle \frac{\text{ハ}}{\text{ヒ}\text{フ}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{V_3}{V_1}}={\displaystyle \frac{\text{ヘ}}{\text{ホ}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{V_4}{V_1}}={\displaystyle \frac{\text{マ}}{\text{ミ}}}$

である．

【２】　座標平面において，曲線$y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}$$\mathrm{B}(b,b^2)$をとり，線分$\mathrm{AB}$を$1$辺とする正三角形$\mathrm{ABC}$を考える．ただし，$a<b$とし，点$\mathrm{C}$は$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が反時計回りとなるようにとる．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が$b-a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$を満たしながら曲線$y=x^2$上を動くとき，点$\mathrm{C}$の$y$座標が動く範囲を求めよ．

(3)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が$b-a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$を満たしながら曲線$y=x^2$上を動くとき，点$\mathrm{C}$の軌跡を求めよ．

【３】　$t$は実数とし，座標平面において$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=1-2x\left|x\right|+3x^4$

$C_2\text{：}y=1-t{x}^2$

を考える．ただし，直線は曲線の特別な場合であると考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点の座標をすべて求めよ．

(2)　$-1<t<1$のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を求めよ．

(3)　$S(t)$は(2)で定めた関数とする．極限値$\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{S(t)-S(0)}{t}}$を求めよ．