2024　東京理科大学　創域理工学部B方式2月3日実施

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{フ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{シ}$などは既出の$\text{シ}$などを表す．

(1)　自然数の列を次のような群に分ける．ただし，第$n$群には$3^{n-1}$個の数が入るものとする．

$\begin{array}{ccccccc}1& |& 2,3,4& |& 5,6,7,8,9,10,11,12,13& |& 14,\cdots \\ \text{第}1\text{群}& & \text{第}2\text{群}& & \text{第}3\text{群}\end{array}$

(a)　第$5$群の第$26$番目の数は$\text{ア}\text{イ}$である．

(b)　$2024$は第$\text{ウ}$群の第$\text{エ}\text{オ}\text{カ}$番目の数である．

(c)　第$n$群の最後の数は${\displaystyle \frac{{\text{キ}}^n-1}{\text{ク}}}$である．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{フ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{シ}$などは既出の$\text{シ}$などを表す．

(2)　$\mathrm{A}$さんを含む$6$人でじゃんけんを$1$回する．

(a)　$\mathrm{A}$さんと同じ手を出す人が他にいる確率は，${\displaystyle \frac{\text{ケ}\text{コ}\text{サ}}{\text{シ}\text{ス}\text{セ}}}$である．$\mathrm{A}$さんと同じ手を，他に少なくとも$2$人が出す確率は，${\displaystyle \frac{\text{ソ}\text{タ}\text{チ}}{\text{シ}\text{ス}\text{セ}}}$である．

(b)　$\mathrm{A}$さんだけが勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{シ}\text{ス}\text{セ}}}$であり，$\mathrm{A}$さんが勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{テ}\text{ト}}{\text{シ}\text{ス}\text{セ}}}$である．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{フ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{シ}$などは既出の$\text{シ}$などを表す．

(3)　座標空間に点$\mathrm{A}(3,1,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(3,1,1)\text{，}$点$\mathrm{C}(7,4,0)$がある．

(a)　$\mathrm{\angle BAC}={\text{ナ}\text{ニ}}^{\mathrm{°}}$である．

(b)　さらに，$y$座標が正である点$\mathrm{D}$があり，$\mathrm{\angle DAB}=\mathrm{\angle DAC}=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{DA}=5$を満たすとする．このとき，点$\mathrm{D}$の座標は$(\text{ヌ},\text{ネ},\text{ノ})$であり，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は${\displaystyle \frac{\text{ハ}\text{ヒ}}{\text{フ}}}$である．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)={(x-3)}^2-2|x-3|-3$

とする．$a$を正の実数，$b$を実数とする．座標平面において，曲線$y=f(x)$を$C\text{，}$直線$y=ax+b$を$l$とおく．

(1)　関数$f(x)$の極値を与える$x$の値をすべて求めよ．極大値を与えるか極小値を与えるかも明記せよ．

(2)　$-4<b<-3$のとき，曲線$C$と直線$l$の共有点の個数が$4$個となる正の実数$a$の範囲を$b$を用いて表せ．

(3)　$0<a<2$とする．直線$l$が点$(3,-3)$を通るとき，曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．

【３】　座標平面上の曲線$xy=4$$\text{（}x>0\text{）}$を$C$とする．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は曲線$C$上にあり，点$\mathrm{P}$の$x$座標は点$\mathrm{Q}$の$x$座標より小さく，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線はどちらも点$({\displaystyle \frac{8}{3}},{\displaystyle \frac{4}{3}})$を通る．

(1)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$a$を正の実数とする．曲線$xy=a$$\text{（}x>0\text{）}$が直線$\mathrm{PQ}$と接するとき，$a$の値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{R}$が曲線$xy=32$$\text{（}x>0\text{）}$上を動くとき，線分$\mathrm{PR}$と線分$\mathrm{QR}$および曲線$C$で囲まれた部分の面積の最小値を求めよ．