2024　上智大学　推薦理工学部

【１】(1)　一辺の長さが$1$である立方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$において，辺$\mathrm{BF}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{DH}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，$3$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る平面$\alpha$で立方体を切断する．辺$\mathrm{BF}\text{，}$$\mathrm{DH}$以外の立方体の辺で，平面$\alpha$と両端以外で交わるすべての辺について，$\alpha$との交点がどのような比に内分するか，「辺$\text{◯◯}$を$\text{◯}:\text{◯}$に内分する」という形で答えよ．

【１】(2)　自然数$n$に対し，整式$x^n$を$x^2-4x+1$で割った余りを$a_{n}x+b_n$とするとき，$a_n^2+4a_n{b}_n+b_n^2=1$であることを証明せよ．

【２】

$y=e^{-\sqrt{3}x}\cos x\text{，}$$x\geqq 0$

のグラフを$C$とする．

(1)　グラフ$C$の概形をかけ．グラフの特徴的な性質がわかるようにすること．

(2)　グラフ$C$の$0\leqq x\leqq 2\pi$の部分と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．