2024　上智大学　理工学部2月11日実施

【１】(1)　複素数$z=(-3+2\cos \theta )+(4+2\sin \theta )i$の絶対値は，$\theta ={\theta }_1$のとき最小値$\text{ア}$をとる．このとき，$\sin {\theta }_1={\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウ}}}$である．

【１】(2)　${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{2\sin x}{x^3}}\mathit{dx}$$=-{\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\mathit{dx}$$+\text{エ}{\pi }^p$$+\text{オ}\sqrt{\text{カ}}{\pi }^q\text{，}$

　ただし，$p=\text{キ}\text{，}$$q=\text{ク}$である．

【１】(3)　右の図で表される回路は，$\mathrm{AP}$間，$\mathrm{AQ}$間，$\mathrm{PB}$間，$\mathrm{QB}$間がつながっておらず，それぞれの区間を$1$本の導線でつなぐことができる．$\mathrm{P}$または$\mathrm{Q}$を経由して$\mathrm{AB}$間がつながり電流が流れると電球$\mathrm{L}$が点灯する．

　導線には，タイプ$\alpha$が$2$本，タイプ$\beta$が$2$本ある．それぞれの導線に電流が流れる確率は，タイプ$\alpha$が${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$タイプ$\beta$が${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

(ⅰ)　$\mathrm{AP}$間，$\mathrm{PB}$間を$2$本のタイプ$\alpha$の導線でそれぞれつなぐとき，$\mathrm{L}$が点灯する確率は${\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}$である．

(ⅱ)　$\mathrm{AP}$間，$\mathrm{AQ}$間，$\mathrm{PB}$間，$\mathrm{QB}$間を$4$本の導線でそれぞれつなぐすべてのパターンを考える．$\mathrm{L}$が点灯する確率が最も大きくなるときの確率は${\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}$である．

(ⅲ)　$\mathrm{PQ}$間を確実に電流が流れる別の導線でつなぎ，$\mathrm{AP}$間，$\mathrm{AQ}$間，$\mathrm{PB}$間，$\mathrm{QB}$間を$4$本の導線でそれぞれつなぐすべてのパターンを考える．$\mathrm{L}$が点灯する確率が最も大きくなるときの確率は${\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}$である．

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=a_n^2+a_n+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_n-2$は$5$で割り切れることを証明せよ．

(2)　$a_n^2+1$は$5^n$で割り切れることを証明せよ．

【３】　点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円形のビリヤード台がある．台の縁の点${\mathrm{P}}_1$に大きさが無視できる球$\mathrm{Q}$を置き，半径${\mathrm{P}}_1\mathrm{O}$とのなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$の方向へ球$\mathrm{Q}$を打ち出す．

　球$\mathrm{Q}$は，ビリヤード台の縁に当たると，右下図のように入射角と反射角が等しくなるように反射し，一度打ち出されたら止まらないものとする．$i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対し，点${\mathrm{P}}_i$の次に球$\mathrm{Q}$が縁に当たる点を${\mathrm{P}}_{i+1}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_i}=\overrightarrow{p_i}$とする．

(1)　$\overrightarrow{p_3}=\text{あ}\overrightarrow{p_1}+\text{い}\overrightarrow{p_2}\text{，}$$\overrightarrow{p_4}=\text{う}\overrightarrow{p_1}+\text{え}\overrightarrow{p_2}$である．

(2)　${\mathrm{P}}_i={\mathrm{P}}_1$となる$i$のうち，$i\geqq 2$で最小のものは$\text{ソ}$である．

(3)　線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$と${\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$との交点を$\mathrm{A}\text{，}$線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$と${\mathrm{P}}_6{\mathrm{P}}_7$との交点を$\mathrm{B}$とすると，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\text{お}\overrightarrow{p_1}+\text{か}\overrightarrow{p_2}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\text{き}\overrightarrow{p_1}+\text{く}\overrightarrow{p_2}$

である．

(4)　球$\mathrm{Q}$が点${\mathrm{P}}_1$から打ち出されてから初めて再び点${\mathrm{P}}_1$に到達するまでに，中心$\mathrm{O}$と球$\mathrm{Q}$とを結ぶ線分$\mathrm{OQ}$がちょうど$2$回通過する領域の面積は$\text{タ}+\text{チ}\sqrt{2}$である．