2024　上智大学　経済学部2月9日実施

【１】(1)　$3$個のさいころを同時に投げるとき，出た目の数を小さい方から順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$と並べる．すなわち，$a_1\leqq a_2\leqq a_3$とする．例えば，$2$個のさいころは$1$の目が出て，$1$個のさいころは$3$の目が出たとき，$a_1=1\text{，}$$a_2=1\text{，}$$a_3=3$である．

(ⅰ)　$a_3=3$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

(ⅱ)　$a_2=4$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$である．

(ⅲ)　$a_2>4$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}$である．

【 １】(2)　方程式$2^{{\log }_{9}x}-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^{{\log }_{9}8}=0$の解は$\text{キ}$である．

【１】(3)　$t$を実数とする．$0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$を満たすすべての$\theta$に対して，

$\sin 4\theta +t{\sin }^{2}2\theta \geqq 0$

が成り立つような最小の$t$は${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ク}}}{\text{ケ}}}\sqrt{\text{コ}}$である．

【２】　座標空間に$3$点$\mathrm{A}$$(2,0,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,0,0)$がある．$t$を実数として，点$\mathrm{P}$の座標を$(t+1,2t,t+2)$とする．

(1)　$t={\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}$のとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CP}$は$1$点$\mathrm{Q}$で交わる．

　このとき，

$\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=\text{ス}:1\text{，}$$\mathrm{CQ}:\mathrm{QP}=\text{セ}:1$

となる．$\mathrm{▵ABP}$の面積は$\mathrm{▵ABC}$の面積の$\text{ソ}$倍であり，$\mathrm{▵BCP}$の面積は$\mathrm{▵ABC}$の面積の${\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}$倍である．

(2)　$t={\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}$のとき，$\mathrm{▵ABP}$の面積は最小値${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ト}}}{\text{ナ}}}$をとる．

【３】　関数$f(x)=3x^2+6x+2$と正の実数$a$に対して

$F(x)={\displaystyle \frac{1}{a}}{\displaystyle {\int }_{x-a}^x}f(t)\mathit{dt}$

とおく．

(1)　$2$次関数$y=F(x)$のグラフの頂点の座標は

$({\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌ}}}a+\text{ネ},{\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}{a}^2+\text{ヒ}a+\text{フ})$

である．

(2)　区間$0\leqq x\leqq 1$における$F(x)$の最小値$m$を$a$を用いて表すと

となる．$\text{あ}\text{，}$$\text{い}\text{，}$$\text{う}$は記述式解答欄にそれぞれ答えのみを記せ．

(3)　$a$を$a>0$の範囲で変化させるとき，$m$は$a={\displaystyle \frac{\text{マ}}{\text{ミ}}}$で最小値${\displaystyle \frac{\text{ム}}{\text{メ}}}$をとる．