2024　上智大学　TEAP文系2月6日実施MathJax

【１】　一辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AD}$上の点$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{DC}$上の点$\mathrm{F}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$上の点$\mathrm{G}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{H}$を$\mathrm{AE}=\mathrm{DF}=\mathrm{CG}=2t\text{，}$$\mathrm{BH}=t$となるようにとる．ただし，$0\leqq t\leqq 1$とする．

(1)　$\mathrm{▵EFG}$の面積は

$\sqrt{\text{ア}}(\text{イ}{t}^2+\text{ウ}t+\text{エ})$

である．

(2)　$\mathrm{B}$から平面$\mathrm{ACD}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{ACD}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，

$\mathrm{BP}={\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}\sqrt{\text{キ}}$

である．

(3)　$\mathrm{H}$から平面$\mathrm{EFG}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{EFG}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，

$\mathrm{HQ}={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}\sqrt{\text{コ}}(t+\text{サ})$

である．

(4)　四面体$\mathrm{HEFG}$の体積が最小になるのは

$t=\text{シ}+{\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\sqrt{\text{ソ}}$

のときである．

【２】　表と裏が出る確率がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$である硬貨がある．座標平面において，原点$(0,0)$に置かれた点$\mathrm{A}$および座標$(1,0)$に置かれた点$\mathrm{B}$を，硬貨を$1$回投げるごとに以下の規則(R)に従って動かし，$n$回硬貨を投げた直後における点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の位置について考える．

規則(R)：

・表が出たとき，$\mathrm{A}$は動かさず，$\mathrm{B}$は$\mathrm{A}$を中心に反時計回りに$90\mathrm{°}$回転した位置に動かす．

・裏が出たとき，$\mathrm{B}$は動かさず，$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$を中心に反時計回りに$90\mathrm{°}$回転した位置に動かす．

(1)　$n=10$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(\text{タ},\text{チ})$となる．

(2)　$n=3$のとき，$\mathrm{A}$が位置することが可能な座標の総数は$\text{ツ}$である．

(3)　$n=4$のとき，$\mathrm{A}$が原点にある確率は${\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}}}$であり，$\mathrm{A}$が$x$軸上にある確率は${\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}$である．

(4)　$n=8$のとき，$\mathrm{A}$が原点にある確率は${\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}}}$であり，$\mathrm{A}$が$x$軸上にある確率は${\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}$である．

【３】(1)　整数の組$(x,y)$で条件

$\{\begin{array}{l}{\log }_{\frac{1}{4}}y<{\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)\\ 2^{y-1}<8^x\end{array}$

を満たすものは全部で$\text{ヒ}$個ある．

【３】(2)　$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=2\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{CA}=2\sqrt{3}-2$の$\mathrm{▵ABC}$がある．$\mathrm{\angle A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積は

$\text{フ}+\text{ヘ}\sqrt{\text{ホ}}$

であり，

$\mathrm{AD}=\text{マ}+\text{ミ}\sqrt{\text{ム}}$

である．

【３】(3)　座標平面において，直線$y=2x-3$を，原点を中心に反時計回りに$45\mathrm{°}$回転して得られる直線は

$y=\text{メ}x+\text{モ}\sqrt{\text{ヤ}}$

である．

【３】(4)　座標平面上で放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}$$(t,t^2)$$\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$における接線と放物線$y=-{(x+1)}^2$の$2$つの共有点の中点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，共有点が$1$つの場合は，その共有点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標は

$(\text{ユ}t+\text{ヨ},\text{ラ}{t}^2+\text{リ}t+\text{ル})$

である．$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき線分$\mathrm{PQ}$が動いてできる図形の面積は${\displaystyle \frac{\text{レ}}{\text{ロ}}}$である．