2024　慶応義塾大学　総合政策学部

【１】

(1)　$2$次方程式$x^2+2x-4=0$の解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，$\alpha -{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\text{，}$$\beta -{\displaystyle \frac{1}{\beta }}$を解にもつ$2$次方程式は

$x^2+{\displaystyle \frac{\text{(1)}\text{(2)}}{\text{(3)}\text{(4)}}}x+{\displaystyle \frac{\text{(5)}\text{(6)}}{\text{(7)}\text{(8)}}}=0$

である．また，${\alpha }^2-{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}\text{，}$${\beta }^2-{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^2}}$を解にもつ$2$次方程式は

$x^2+{\displaystyle \frac{\text{(9)}\text{(10)}\text{(11)}}{\text{(12)}\text{(13)}\text{(14)}}}x+{\displaystyle \frac{\text{(15)}\text{(16)}\text{(17)}}{\text{(18)}\text{(19)}\text{(20)}}}=0$

である．

【１】

(2)　$10$の階乗$10!=1\times 2\times \cdots \times 10$を計算すると$3628800$であり，下の桁から$2$個の$0$が続く．同じように，$20$の階乗$20!$は下の桁から$\text{(21)}\text{(22)}$個の$0$が続く数，$100$の階乗$100!$は下の桁から$\text{(23)}\text{(24)}$個の$0$が続く数，$2024$の階乗$2024!$は下の桁から$\text{(25)}\text{(26)}\text{(26)}\text{(27)}$個の$0$が続く数となる．

【２】　負でない実数$t$に対して定義される関数

$f(t)={\displaystyle \frac{9}{2}}t-3{\displaystyle {\int }_0^1}|(x-t)(x-2t)|\mathit{dx}$

を$t$の範囲に応じて多項式で書くと

(a)　$0\leqq t<{\displaystyle \frac{\text{(28)}\text{(29)}}{\text{(30)}\text{(31)}}}$において

$f(t)=\text{(32)}\text{(33)}{t}^3+\text{(34)}\text{(35)}{t}^2$$+\text{(36)}\text{(37)}t+\text{(38)}\text{(39)}$

(b)　${\displaystyle \frac{\text{(28)}\text{(29)}}{\text{(30)}\text{(31)}}}\leqq t<\text{(40)}\text{(41)}$において

$f(t)=\text{(42)}\text{(43)}{t}^3+\text{(44)}\text{(45)}{t}^2+\text{(46)}\text{(47)}$

(c)　$\text{(40)}\text{(41)}\leqq t$において

$f(t)=\text{(48)}\text{(49)}{t}^2+\text{(50)}\text{(51)}t+\text{(52)}\text{(53)}$

である．よって$t={\displaystyle \frac{\text{(54)}\text{(55)}}{\text{(56)}\text{(57)}}}$のとき，$f(t)$は最大値${\displaystyle \frac{\text{(58)}\text{(59)}}{\text{(60)}\text{(61)}}}$をとる．

【３】　スポーツなどの競技では，コイントスによって試合の先攻と後攻を決めることがある．通常，コイントスではコインの表と裏は等確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で出ると仮定するが，異なる確率で表と裏が出るコインを考えることもできる．いま，$3:2$の比で表と裏が出るコインと$2:3$の比で表と裏が出るコインの$2$枚がある状況を考える．

(1)　どちらか$1$枚のコインを無作為に選んでコイントスを行うとき，表が出る確率は${\displaystyle \frac{\text{(62)}\text{(63)}}{\text{(64)}\text{(65)}}}$である．

(2)　どちらか$1$枚のコインを無作為に選んでコイントスを行ったところ，表が出た．このコインを使ってもう$1$回コイントスを行うとき，表が出る確率は${\displaystyle \frac{\text{(66)}\text{(67)}}{\text{(68)}\text{(69)}}}$である．

(3)　どちらか$1$枚のコインを無作為に選んで$2$回コイントスを行ったところ，$2$回とも表が出た．このコインを使ってもう$1$回コイントスを行うとき，表が出る確率は${\displaystyle \frac{\text{(70)}\text{(71)}}{\text{(72)}\text{(73)}}}$である．

(4)　$2$枚のコインを使って同時にコイントスを行うとき，両方のコインの表裏が同じになる確率は${\displaystyle \frac{\text{(74)}\text{(75)}}{\text{(76)}\text{(77)}}}$である．

(5)　$2$枚のコインを使って同時にコイントスを行ったところ，一方のコインは表，もう一方のコインは裏が出た．表が出たコインを使ってもう$1$回コイントスを行うとき，表が出る確率は${\displaystyle \frac{\text{(78)}\text{(79)}}{\text{(80)}\text{(81)}}}$である．

【４】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の球から点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$$\text{（}r$は$0<r<2$を満たす実数）の球をくり抜いてできた立体$V$がある．いま，点$\mathrm{O}$から下ろした垂線の長さが$x$$\text{（}x$は$0<x<2$を満たす実数）である平面$P$で立体$V$を切り，$2$つの立体に分ける．$2$つの立体のうち，体積の小さい方を$V_1\text{，}$大きい方を$V_2$とする．

(1)　平面$P$による立体$V$の切り口の面積が$\pi {(2-r)}^2$であるとき，$x=\sqrt{\text{(82)}\text{(83)}{r}^2+\text{(84)}\text{(85)}r}$である．

(2)　$0<x<r$のとき，$V_1$の体積は

$(r^2+\text{(86)}\text{(87)})\pi x+{\displaystyle \frac{\text{(88)}\text{(89)}}{\text{(90)}\text{(91)}}}\pi r^3+{\displaystyle \frac{\text{(92)}\text{(93)}}{\text{(94)}\text{(95)}}}\pi$

であり，$r\leqq x<2$のとき，$V_1$の体積は

${\displaystyle \frac{\text{(96)}\text{(97)}}{\text{(98)}\text{(99)}}}\pi x^3+\text{(100)}\text{(101)}\pi x+{\displaystyle \frac{\text{(102)}\text{(103)}}{\text{(104)}\text{(105)}}}\pi$

である．

(3)　$x=r$において$V_1$の体積と$V_2$の体積の比が$1:3$になるとき，$r=\text{(106)}\text{(107)}+\sqrt{\text{(108)}\text{(109)}}$である．また，$x={\displaystyle \frac{2}{3}}r$において$V_1$の体積と$V_2$の体積の比が$1:3$になるとき，$r=\text{(110)}\text{(111)}+\sqrt{\text{(112)}\text{(113)}}$である．

【５】　実数$x\text{，}$$y$について，次の連立不等式があらわす領域を$D$とする．

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\leqq 4\\ (\sqrt{2}{x}^2-2y)(x-2y+2)\leqq 0\end{array}$

点$(x,y)$が領域$D$を動くとき

(1)　$x-2y$は

点$({\displaystyle \frac{\text{(114)}\text{(115)}}{\text{(116)}\text{(117)}}}\sqrt{2},{\displaystyle \frac{\text{(118)}\text{(119)}}{\text{(120)}\text{(121)}}}\sqrt{2})$において最大値${\displaystyle \frac{\text{(122)}\text{(123)}}{\text{(124)}\text{(125)}}}\sqrt{2}$

点$(\text{(126)}\text{(127)}\sqrt{2},\text{(128)}\text{(129)}\sqrt{2})$において最小値$\text{(130)}\text{(131)}\sqrt{2}$

をとる．

(2)　$ax+y$が点$({\displaystyle \frac{6}{5}},{\displaystyle \frac{8}{5}})$で最大となるような実数$a$のとりうる値の範囲は

$\text{(132)}\text{(133)}+\text{(134)}\text{(135)}\sqrt{2}$$\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\text{(136)}\text{(137)}}{\text{(138)}\text{(139)}}}$

であり，この条件下で$ax+y$のとりうる値の範囲は

$\text{(140)}\text{(141)}+\text{(142)}\text{(143)}\sqrt{2}$$\leqq ax+y\leqq {\displaystyle \frac{\text{(144)}\text{(145)}}{\text{(146)}\text{(147)}}}$

である．