2024　慶応義塾大学　商学部

【１】　以下の問いに答えなさい．

(ⅰ)　式$3{(x+5)}^{-\frac{5}{2}}$の値は，$x=0$のとき$\text{(ア)}$であり，$x=4$のとき$\text{(イ)}$である．（解答は指数を含まない形で表し，根号を含む場合は分母を有理化すること．）

【１】　以下の問いに答えなさい．

(ⅱ)　等式

$f(x)=12x^2+6x{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}+2{\displaystyle {\int }_0^1}tf(t)\mathit{dt}$

を満たす関数$f(x)$を求めよ．（答えのみを解答用紙$\mathrm{B}$の所定の枠内に記入しなさい．）

【１】　以下の問いに答えなさい．

(ⅲ)　$a<b<c$かつ${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{2}{b}}+{\displaystyle \frac{3}{c}}=2$を満たす自然数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．（答えのみを解答用紙$\mathrm{B}$の所定の枠内に記入しなさい．）

【１】　以下の問いに答えなさい．

(ⅳ)　ある業者は，三つの工場$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$から廃棄物を回収し，その中に含まれる三つの金属$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を取り出して新たな製品$\mathrm{K}$を作る．各工場の廃棄物から取り出される$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の量は以下の通りである．

・工場$\mathrm{A}$の廃棄物$10\mathrm{kg}$から$\mathrm{P}$が$3\mathrm{kg}\text{，}$$\mathrm{Q}$が$5\mathrm{kg}\text{，}$$\mathrm{R}$が$1\mathrm{kg}$取り出される．

・工場$\mathrm{B}$の廃棄物$10\mathrm{kg}$から$\mathrm{P}$が$1\mathrm{kg}\text{，}$$\mathrm{Q}$が$3\mathrm{kg}\text{，}$$\mathrm{R}$が$2\mathrm{kg}$取り出される．

・工場$\mathrm{C}$の廃棄物$10\mathrm{kg}$から$\mathrm{P}$が$4\mathrm{kg}\text{，}$$\mathrm{Q}$が$1\mathrm{kg}\text{，}$$\mathrm{R}$が$1\mathrm{kg}$取り出される．

また，$\mathrm{P}$が$2\mathrm{kg}$と，$\mathrm{Q}$が$2\mathrm{kg}$と，$\mathrm{R}$が$1\mathrm{kg}$で製品$\mathrm{K}$が$1$個作られる．工場$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$から合わせて$200\mathrm{kg}$の廃棄物が回収できるとき，製品$\mathrm{K}$をできるだけ多く作るには工場$\mathrm{A}$から$\text{(ウ)}\mathrm{kg}\text{，}$工場$\mathrm{B}$から$\text{(エ)}\mathrm{kg}\text{，}$工場$\mathrm{C}$から$\text{(オ)}\mathrm{kg}$の廃棄物を回収すればよく，そのとき製品$\mathrm{K}$は$\text{(カ)}$個作ることができる．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$\sqrt{13}$を$10$進法の小数で表したとき小数第$3$位の数字は$\text{(1)}\text{，}$小数第$4$位の数字は$\text{(2)}$である．ただし，必要であれば${(3.606)}^2=13.003236$であることを用いてよい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(ⅱ)　ベクトルの列$\overrightarrow{a_1}\text{，}$$\overrightarrow{a_2}\text{，}\cdots \text{．}$$\overrightarrow{a_n}\text{，}\cdots$を条件

$\overrightarrow{a_1}=(1,0)\text{，}$$\overrightarrow{a_2}=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\text{，}$$\overrightarrow{a_{n+2}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a_{n+1}}\cdot \overrightarrow{a_n}}{{\left|\overrightarrow{a_n}\right|}^2}}\overrightarrow{a_n}$

で定める．このとき$\overrightarrow{a_9}=({\displaystyle \frac{\text{(3)}}{\text{(4)}\text{(5)}\text{(6)}}},\text{(7)})$である．また，$\left|\overrightarrow{a_n}\right|<{10}^{-25}$を満たす最小の自然数$n$は$\text{(8)}\text{(9)}$である．ただし，必要であれば，${\log }_{10}2=0.301$を近似として用いてよい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(ⅲ)　$1$から$n$までの$n$個の自然数の最小公倍数を$a_n$とする．

・$a_n=a_{n+1}$を満たす最小の自然数$n$は$\text{(10)}$である．

・$a_{n+1}=2a_n$を満たす$10000$以下の自然数$n$は$\text{(11)}\text{(12)}$個ある．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(ⅳ)　$xy$平面上で，不等式$x\leqq 5$の表す領域を$A\text{，}$不等式$x+y\geqq 10$の表す領域を$B$とする．また，$xy$平面上の点の集合$S$は以下の$3$つの条件をすべて満たす．

(条件１)　$S$に含まれるどの点も，その$x$座標と$y$座標はともに$1$以上$10$以下の自然数である．

(条件２)　$S$の要素で領域$A$に含まれるものは，領域$B$に含まれる．

(条件３)　$S$の要素で領域$B$に含まれるものは，領域$A$に含まれる．

$S$を，条件１〜３を満たす中で要素の個数が最大のものとするとき，その要素の個数は$\text{(13)}\text{(14)}$である．

【３】　$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2+5x+18$とし，放物線$C\text{：}y=f(x)$と$2$つの直線$l_1\text{：}y=-x\text{，}$$l_2\text{：}y=x$を考える．$C$と$l_1$の共有点のうち$x$座標が負のものを$\mathrm{A}$とし，$C$と$l_2$の共有点のうち$x$座標が正のものを$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{A}$の$x$座標を$a\text{，}$$\mathrm{B}$の$x$座標を$b$とする．

(ⅰ)　$a=\text{(15)}\text{(16)}-\text{(17)}\text{(18)}\sqrt{\text{(19)}}\text{，}$$b=\text{(20)}\text{(21)}$である．

(ⅱ)　$C$と$l_2$で囲まれた部分のうち，$x\geqq 0$の範囲にあるものの面積は

$\text{(22)}\text{(23)}\text{(24)}\text{(25)}$

である．

　以下，$\mathrm{P}$を$C$上の点とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{D}$とする．

(ⅲ)　$p$が$0<p<b$の範囲を動くとき，$\mathrm{▵ABP}$の面積が最大になるのは$p=\text{(26)}\text{(27)}-\text{(28)}\sqrt{\text{(29)}}$のときである．

(ⅳ)　$p=8$のとき，$\mathrm{D}$の$y$座標は$\text{(30)}\text{(31)}$である．

(ⅴ)　$p$が$0<p<b$の範囲を動くとき，$\mathrm{▵BDP}$の面積$S$が最大になるのは$p=\text{(32)}\text{(33)}$のときであり，そのときの$S$は$\text{(34)}\text{(35)}\text{(36)}$である．

【４】　あるくじ引き店には，くじが$10$本入っている箱が$5$箱ある．$5$箱のうち$4$箱には当たりくじが$1$本，はずれくじが$9$本入っており，この$4$箱を「通常の箱」と呼ぶ．また，残りの$1$箱には当たりくじが$5$本，はずれくじが$5$本入っており，この箱を「有利な箱」と呼ぶ．通常の箱と有利な箱は見た目が同じであり，見分けることはできない．

(ⅰ)　まず，$\mathrm{A}$が店に入り，$5$箱のうちの$1$箱を無作為に選び，その箱からくじを$1$本引いた．$\mathrm{A}$の選んだ箱が通常の箱であり，かつ，引いたくじがはずれである確率は${\displaystyle \frac{\text{(37)}\text{(38)}}{\text{(39)}\text{(40)}}}$である．また，$\mathrm{A}$の選んだ箱が有利な箱であり，かつ，引いたくじがはずれである確率は${\displaystyle \frac{\text{(41)}}{\text{(42)}\text{(43)}}}$である．したがって，$\mathrm{A}$の引いたくじがはずれであったときに，$\mathrm{A}$の選んだ箱が有利な箱である確率は${\displaystyle \frac{\text{(44)}}{\text{(45)}\text{(46)}}}$である．

(ⅱ)　(ⅰ)の後，$\mathrm{A}$は引いたくじをもとの箱に戻し，よくかき混ぜたあと，同じ箱からもう一度くじを$1$本引いた．$\mathrm{A}$の引いたくじが$1$回目，$2$回目ともにはずれであったときに，$\mathrm{A}$の選んだ箱が有利な箱である確率は${\displaystyle \frac{\text{(47)}\text{(48)}}{\text{(49)}\text{(50)}\text{(51)}}}$である．

(ⅲ)　(ⅱ)の後，$\mathrm{A}$は引いたくじをもとの箱に戻して店を出た．その後，$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$が店に入った．$\mathrm{B}$は$5$箱のうち$1$箱を無作為に選び，$\mathrm{C}$は$\mathrm{B}$が選ばなかった$4$箱の中から$1$箱を無作為に選んだ．$\mathrm{B}$は$\mathrm{A}$と同じように，自分の選んだ箱からくじを$1$本引き，それをもとの箱に戻し，よくかき混ぜたあと，同じ箱からもう一度くじを$1$本引いた．また，$\mathrm{C}$は自分の選んだ箱からくじを$1$本引いた．$\mathrm{B}$の引いたくじが$1$回目，$2$回目ともにはずれであり，かつ，$\mathrm{C}$の引いたくじが当たりであったときに，$\mathrm{B}$の選んだ箱が有利な箱である確率は${\displaystyle \frac{\text{(52)}\text{(53)}}{\text{(54)}\text{(55)}\text{(56)}}}$であり，$\mathrm{C}$の選んだ箱が有利な箱である確率は${\displaystyle \frac{\text{(57)}\text{(58)}\text{(59)}}{\text{(60)}\text{(61)}\text{(62)}}}$である．