2024　慶応義塾大学　経済学部

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$p$を実数とする．$x$の$2$次方程式$x^2-(p-9)x-p+1=0$の解は整数$m\text{，}$$n$で$m<0<n$が成り立つとする．このとき$mn+m+n=\text{(1)}\text{(2)}$なので，$m=\text{(3)}\text{(4)}\text{，}$$n=\text{(5)}\text{，}$$p=\text{(6)}\text{(7)}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$\theta$は$\left|\theta \right|<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲の定数とする．$x=\tan \theta$とおくと，${\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}={\displaystyle \frac{\text{(8)}}{\text{(9)}}}\sin 2\theta$かつ${\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}={\displaystyle \frac{\text{(10)}}{\text{(11)}}}(\cos 2\theta +1)$であるので，$y={\displaystyle \frac{x^2+3x+5}{x^2+1}}$とすると，

$y={\displaystyle \frac{\text{(12)}}{\text{(13)}}}\sin (2\theta +\alpha )+\text{(14)}$

と表せる．ただし，$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\text{(15)}}{\text{(16)}}}\text{，}$$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\text{(17)}}{\text{(18)}}}$である．また，$\left|x\right|\leqq 1$に対応する$\theta$の範囲が$\left|\theta \right|\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{\text{(19)}}}$であることに注意すると，$\left|x\right|\leqq 1$における$y$の取りうる値の最大値は${\displaystyle \frac{\text{(20)}\text{(21)}}{\text{(23)}}}\text{，}$最小値は${\displaystyle \frac{\text{(23)}}{\text{(24)}}}$である．

【２】　袋の中に，$1$から$9$までの番号を重複なく$1$つずつ記入したカードが$9$枚入っている．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の$4$人のうち$\mathrm{D}$がさいころを投げて，$1$の目が出たら$\mathrm{A}$が，$2$または$3$の目が出たら$\mathrm{B}$が，その他の目が出たら$\mathrm{C}$が，袋の中からカードを$1$枚引き，カードに記入された番号を記録することを試行という．ただし，$1$度引いたカードは袋に戻さない．この試行を$3$回続けて行う．また，$1$回目の試行前の$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の点数をそれぞれ$0$としたうえで，以下の(a)，(b)に従い，各回の試行後の$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の点数を定める．

(a)　各回の試行においてカードを引いた人は，その回の試行前の自分の点数に，その回の試行で記録した番号を加え，試行後の点数とする．

(b)　各回の試行においてカードを引いていない人は，その回の試行前の自分の点数を，そのまま試行後の点数とする．

(1)　$1$回目の試行後，$\mathrm{B}$の点数が$3$の倍数となる確率は${\displaystyle \frac{\text{(25)}}{\text{(26)}}}$である．ただし，$0$はすべての整数の倍数である．

(2)　$2$回目の試行後，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のうち，$1$人だけの点数が$0$である確率は${\displaystyle \frac{\text{(27)}\text{(28)}}{\text{(29)}\text{(30)}}}$である．

(3)　$2$回目の試行後の$\mathrm{A}$の点数が$5$以上となる確率は${\displaystyle \frac{\text{(31)}\text{(32)}}{\text{(33)}\text{(34)}}}$である．

(4)　$2$回目の試行後の$\mathrm{A}$の点数が$5$以上であるとき，$3$回目の試行後の$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の点数がすべて$5$以上である条件付き確率は${\displaystyle \frac{\text{(35)}\text{(36)}}{\text{(37)}\text{(38)}\text{(39)}}}$である．

【３】　実数$a$に対して$f(a)={\displaystyle \frac{1}{2}}(2^a-2^{-a})$とおく．また，$A=2^a$とする．

(1)　等式${(A-{\displaystyle \frac{1}{A}})}^3=\text{(40)}(A^3-{\displaystyle \frac{1}{A^3}})-\text{(41)}(A-{\displaystyle \frac{1}{A}})$より，実数$a$に対して

${\{f(a)\}}^3={\displaystyle \frac{\text{(42)}}{\text{(43)}}}f(3a)-{\displaystyle \frac{\text{(44)}}{\text{(45)}}}f(a)$$\cdots \text{①}$

が成り立つ．

(2)　実数$a\text{，}$$b$に対して$f(a)=b$が成り立つならば，$A=2^a$は$2$次方程式

$A^2-\text{(46)}bA-\text{(47)}=0$

を満たす．$2^a>0$より，$a$は$b$を用いて

$a={\log }_2(\text{(48)}b+\sqrt{b^2+\text{(49)}})$$\cdots \text{②}$

と表せる．つまり，任意の実数$b$に対して$f(a)=b$となる実数$a$が，ただ$1$つ定まる．

　以下，数列$\{a_n\}$に対して$f(a_n)=b_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で定まる数列$\{b_n\}$が，関係式

$4b_{n+1}^3+3b_{n+1}-b_n=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$$\cdots \text{③}$

を満たすとする．

(3)　$\text{①}$と$\text{③}$から$f(\text{(50)}{a}_{n+1})=f(a_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$となるので，(2)より，$a_n={\displaystyle \frac{a_1}{{\text{(51)}}^{n-p}}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$が得られる．ここで，$p=\text{(52)}$である．

(4)　$n\geqq 2$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=2}^n}{3}^{k-1}{b_k}^3$とおく．$c_n=3^n{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で定まる数列$\{c_n\}$の階差数列を用いると，$\text{③}$より，

$S_n={\displaystyle \frac{\text{(53)}}{\text{(54)}}}{b}_1-{\displaystyle \frac{{\text{(55)}}^n}{\text{(56)}}}{b}_n$$\text{（}n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}\cdots \text{）}$

となる．ゆえに，$b_1={\displaystyle \frac{4}{3}}{S}_5-108$が成り立つならば，

$a_1=\text{(57)}\text{(58)}\text{(59)}{\log }_2\text{(60)}$

である．

【４】　$p\text{，}$$q$を正の実数とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}$$(3,-\sqrt{3},0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,\sqrt{3},0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(p,0,q)$をとる．ただし，四面体$\mathrm{OABC}$は$1$辺の長さが$2\sqrt{3}$の正四面体であるとする．

(1)　$p$および$q$の値を求めよ．

　以下，点$({\displaystyle \frac{3}{2}},0,{\displaystyle \frac{q}{2}})$に関して$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$と対称な点を，それぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$とする．

(2)　直線$\mathrm{DG}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{CB}$と平面$\mathrm{DEG}$の交点を$\mathrm{I}\text{，}$直線$\mathrm{CA}$と平面$\mathrm{DFG}$の交点を$\mathrm{J}$とする．四角形$\mathrm{CJHI}$の面積$S$と四角錐$\mathrm{G‐CJHI}$の体積$V$を，それぞれ求めよ．

【５】　$x$を正の実数とする．$m$と$n$は，それぞれ$m\leqq {\log }_4{\displaystyle \frac{x}{8}}\text{，}$$n\leqq {\log }_2{\displaystyle \frac{8}{x}}$を満たす最大の整数とし，さらに，$\alpha ={\log }_4{\displaystyle \frac{x}{8}}-m\text{，}$$\beta ={\log }_2{\displaystyle \frac{8}{x}}-n$とおく．

(1)　${\log }_{2}x$を，$m$と$\alpha$を用いて表せ．

(2)　$2\alpha +\beta$の取りうる値をすべて求めよ．

(3)　$n=m-1$のとき，$m$と$n$の値を求めよ．

(4)　$n=m-1$となるために$x$が満たすべき必要十分条件を求めよ．

【６】　$a\text{，}$$b\text{，}$$p$を実数とする．関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+17$は$x=p$で極大値，$x=-4p$で極小値をとり，$f(-2p)=-17$を満たすとする．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$p$の値，および$f(x)$の極大値$M\text{，}$極小値$m$を，それぞれ求めよ．

(2)　(1)で求めた$a\text{，}$$b$および$0\leqq t\leqq 5$を満たす実数$t$に対して，区間$0\leqq x\leqq t$における$|f(x)|$の最大値を$g(t)$とする．$t$の値について場合分けをして，それぞれの場合に$g(t)$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$g(t)$に対して，定積分$I={\displaystyle {\int }_0^5}g(t)\mathit{dt}$を求めよ．