2024　慶応義塾大学　薬学部

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{セ}$にあてはまる適切な数，数の組，または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　$n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$は初項が$25\text{，}$公差が$0$でない等差数列であり，$3$つの項$a_8\text{，}$$a_9\text{，}$$a_{10}$を

$a_8\text{，}{a}_{10}\text{，}{a}_9$

の順に並べると等比数列になる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．

(ⅰ)　一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=\text{ア}$である．

(ⅱ)　不等式$S_n<0$を満たす最小の$n$の値は$\text{イ}$である．

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{セ}$にあてはまる適切な数，数の組，または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とし，実数$x$の関数$f(x)$を$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$とおく．$f(x)$は$x=-1$で極値$3$をとり，方程式$f(x)=0$は$x=-2$を解に持つ．

(ⅰ)　$a=\text{ウ}\text{，}$$b=\text{エ}\text{，}$$c=\text{オ}$である．

(ⅱ)　$K$を実数とする．方程式$f(x)=4x+K$が持つ異なる実数解の個数が$2$個となるとき，$K$の値は$\text{カ}$である．

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{セ}$にあてはまる適切な数，数の組，または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)　$xy$平面上に連立不等式$x+y\leqq 4\text{，}$$5x-7y\geqq -40\text{，}$$x-3y\leqq -8$の表す領域$D$がある．点$\mathrm{P}$$(x,y)$が$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最小値は$\text{キ}$であり，最大値は$\text{ク}$である．

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{セ}$にあてはまる適切な数，数の組，または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間に点$\mathrm{A}$$(0,0,\sqrt{6})$があり，$y$軸上の点$\mathrm{B}\text{，}$点$\mathrm{C}$$(t,{\displaystyle \frac{t}{\tan \theta }},0)$を，$\mathrm{\angle OBA}=30\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=45\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle ACB}=60\mathrm{°}$を満たすようにおく．ただし，$t$は$t>0$を満たす実数の定数，$\theta$は$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$を満たす実数の定数とする．

(ⅰ)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=\text{ケ}$である．

(ⅱ)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2=\text{コ}$である．

(ⅲ)　$\theta$は${\tan }^2\theta$の値が$\text{サ}$となる実数である．

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{セ}$にあてはまる適切な数，数の組，または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(5)　自然数$a\text{，}$$b$と素数$p$は等式

$a^4-4a^{2}b+4b^3-b^4=p^2$

を満たす．このとき，数の組$(a,b,p)$をすべて求めると，$(a,b,p)=\text{シ}$である．

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{セ}$にあてはまる適切な数，数の組，座標または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(6)　偶数個の実数のデータ$x_i$$\text{（}1\leqq i\leqq 2n\text{）}$があり，このデータの最大値を$A_{2n}\text{，}$最小値を$B_{2n}\text{，}$中央値を$C_{2n}$とし，${\displaystyle \sum _{i=1}^{2n}}{x}_i$を$S_{2n}$とする．$A_{2n}\text{，}$$B_{2n}\text{，}$$C_{2n}$の値はわかっており，互いに異なる．$n$は$n>2$を満たす整数とする．

(ⅰ)　$A_8=6\text{，}$$B_8=1\text{，}$$C_8=3$であるとき，$S_8$のとりうる値の範囲は$\text{ス}$である．

(ⅱ)　$S_{2n}$のとりうる値の範囲を$A_{2n}\text{，}$$B_{2n}\text{，}$$C_{2n}$を用いて表すと，$\text{セ}$である．

【２】　以下の問の$\text{ソ}\text{〜}\text{テ}$にあてはまる適切な数または式を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に円$x^2+y^2-12y=0$があり，円の中心を$\mathrm{P}$とする．円周上に動点$\mathrm{Q}$があり，半直線$\mathrm{PO}$を始線とする動径$\mathrm{PQ}$の回転角を$\theta$とする．ただし，$\theta$は$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数とする．

(1)　直線$\mathrm{PQ}$を表す方程式は，$\theta =0$のとき$\text{ソ}$であり，$\theta \ne 0$のとき$\text{タ}$である．

(2)　点$\mathrm{Q}$を通る放物線$y=a{x}^2+b$をおく．点$\mathrm{Q}$における放物線の接線は，点$\mathrm{Q}$における円の接線と一致する．ただし$a\text{，}$$b$は実数であり，$a$は$a>0$を満たす．

(ⅰ)　$\theta \ne 0$のとき，$a$と$b$を$\theta$を用いて表すと，$a=\text{チ}\text{，}$$b=\text{ツ}$である．

(ⅱ)　$\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，直線$\mathrm{PQ}$と放物線で囲まれる部分の面積は$\text{テ}$である．

【３】　以下の問の$\text{ト}\text{〜}$$\text{ヌ}$にあてはまる適切な数を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　$10$万人の集団があり，この集団に対してウイルス$\mathrm{X}$とウイルス$\mathrm{Y}$の保有および症状の有無を調べた．

　この集団のうち$2$万人がウイルス$\mathrm{X}$を保有し，ウイルス$\mathrm{X}$保有者の${\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}$ウイルス$\mathrm{X}$非保有者の${\displaystyle \frac{1}{4}}$がウイルス$\mathrm{Y}$を保有していた．ウイルス$\mathrm{X}$が原因でみられる症状は発熱のみ，ウイルス$\mathrm{Y}$が原因でみられる症状は腹痛のみであり，ウイルスを保有していなくても発熱や腹痛がみられることがある．

　過去の研究から，発熱はウイルス$\mathrm{X}$保有者に確率${\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}$ウイルス$\mathrm{X}$非保有者に確率${\displaystyle \frac{1}{10}}$でみられ，腹痛はウイルス$\mathrm{Y}$保有者に確率${\displaystyle \frac{9}{10}}\text{，}$ウイルス$\mathrm{Y}$非保有者に確率${\displaystyle \frac{1}{5}}$でみられることがわかっている．なお，発熱と腹痛はそれぞれ独立に発症し互いに影響しないものとする．

(1)　この集団から無作為に選ばれた$1$人がウイルス$\mathrm{X}$を保有していないが発熱がみられる確率は$\text{ト}$である．

(2)　この集団から無作為に選ばれた$1$人がウイルス$\mathrm{Y}$を保有し，かつ発熱がみられる確率は$\text{ナ}$である．

(3)　この集団から無作為に$1$人を選んでウイルスの保有および症状の有無を調べて集団に戻す試行を$3$回繰り返した．

(ⅰ)　$3$回の試行で選ばれた人のうち，$1$人のみに腹痛がみられる確率は$\text{ニ}$である．

(ⅱ)　$3$回の試行で選ばれた人のうち$1$人のみに腹痛がみられるとき，選ばれた人のうち少なくとも$1$人がウイルス$\mathrm{Y}$を保有している確率は$\text{ヌ}$である．