2024　学習院大学　推薦数学科

【１】　$a$を正の実数とする．関数

$f(x)=a{x}^2-2x-3$

について，次の$2$つの条件１，条件２が共に満たされるような$a$をすべて求めよ．

条件１．$1\leqq x\leqq 3$において，$f(x)$の最小値を与える$x$の値は最大値を与える$x$の値より小さい．

条件２．$1\leqq x\leqq 3$における$f(x)$の最小値と最大値の積は$18$である．

【２】　関数

$f(x)=2({\cos }^{3}x+{\sin }^{3}x)$$+3\cos x\sin x$$+3(\cos x+\sin x)$

を考える．

(1)　$t=\cos x+\sin x$とおくとき，$f(x)$を$t$で表せ．

(2)　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値と最小値それぞれを与える$x$の値のうち，$0\leqq x<2\pi$を満たすものをすべて求めよ．

【３】(1)　$\tan x$の導関数を求めよ．

　$1$以上の実数$a$に対して，

$S(a)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{a}}}{\displaystyle \frac{ax-1}{{\cos }^{2}x}}\mathit{dx}$

とする．

(2)　$S(a)$を求めよ．

(3)　$\underset{a\to \infty }{\mathrm{lin}}S(a)$を求めよ．

【４】　すべての自然数$n$に対して，

$8^n-3^{n-1}(5n+3)$

は$25$の倍数であることを示せ．