2024　学習院大学　理(コア),文(プラス)学部

【１】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(1)　条件

$1+8{\sin }^{3}x\cos x$$-8\sin x{\cos }^{3}x=0$かつ$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

を満たす実数をすべて求めよ．

【１】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(2)　不等式

$9^n-3\times 6^{n+1}+45\times 4^n<0$

を満たす整数$n$をすべて求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.301\text{，}$${\log }_{10}3=0.477$とする．

【２】　$2$つのさいころ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を同時に投げて，さいころ$\mathrm{A}$の出た目を$a\text{，}$さいころ$\mathrm{B}$の出た目を$b$とする．$b\geqq 4$のときは$c=b$として，$b\leqq 3$のときは，さいころ$\mathrm{B}$をもう一度投げて出た目を$c$とする．

(1)　$a>c$である確率を求めよ．

(2)　$a>c$であるとき，さいころ$\mathrm{B}$を$1$回しか投げていない確率を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　$a\text{，}$$b$を実数とする．$x=2+i$は方程式

$x^3+a{x}^2+bx+10=0$(＊)

の解である．ただし，$i$は虚数単位を表す．

(1)　$a\text{，}$$b$を求めよ．

(2)　方程式(＊)の解をすべて求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【４】　座標平面上に曲線

$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$

がある．

(1)　点$(a,0)$から$C$に接線が引けるような実数$a$の範囲を求めよ．

(2)　点$(6,0)$を通る$C$の接線で，接点の$x$座標が最も大きいものを$L$とする．$L$の方程式を求めよ．

(3)　$x>\sqrt{2}$を満たす領域で，(2)で定めた接線$L$と直線$x=2\sqrt{3}$の$2$直線，および$C$とで囲まれた部分を$D$とする．$D$を$x$軸の周りに回転して得られる回転体の体積を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．