2024　青山学院大学　経済学部B方式

【１】(1)　方程式$x^3-5x^2+2x+12=0$の解の最大値以上の整数の中で，最小のものは$\text{1}$である．

【１】(2)　関数$y=f(x)=-4x^3+2bx+c{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}$について，次の問いに答えよ．

1，$b=6\text{，}$$c=2$のとき，$f(x)$の極大値は$\text{2}\text{3}\text{，}$極小値は$\text{4}\text{5}\text{6}$である．

2．$x=1\text{，}$$c=-1$とする．$1\leqq f(1)\leqq 4$のとき，${\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}$の最大値は$\text{7}\text{，}$最小値は$\text{8}$である．

【１】(3)　$n$を奇数とするとき，$2^2-2r+2^2{r}^2-2r^3+2^2{r}^4$$-2r^5$$+\cdots$$+2^2{r}^{n-1}$$-2r^n$の和を$S={\displaystyle \frac{a(b-cr)(d-r^{en+f})}{g-r^h}}$と表すと，$a=\text{9}\text{，}$$b=\text{10}\text{，}$$c=\text{11}\text{，}$$d=\text{12}\text{，}$$e=\text{13}\text{，}$$f=\text{14}\text{，}$$g=\text{15}\text{，}$$h=\text{16}$である．

　なお，問題不備のため解答欄$\text{11}$を$1$として解いてください．

【２】(1)　原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,-2)$がある．原点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろし，その交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{\text{17}}{\text{18}}}(\text{19},\text{20},\text{21}\text{22})$である．

　なお，問題不備のため解答欄$\text{20}$を$1$として解いてください．

【２】(2)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle BAD}=\mathrm{\angle CAD}=45\mathrm{°}$となるような点$\mathrm{D}$が辺$\mathrm{BC}$上にある．辺$\mathrm{AB}$を$c\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$b$とおくとき，辺$\mathrm{AD}$は${\displaystyle \frac{\text{23}c\sqrt{\text{24}}}{\text{25}+c}}$である．また，$b+c=3$とするとき，$\mathrm{▵ABD}$の面積と$\mathrm{▵ACD}$の面積の差の二乗が最大となるのは，$b={\displaystyle \frac{\text{26}\pm \sqrt{\text{27}}}{\text{28}}}$のときである．

【２】(3)　$0\leqq s<d<d^{\prime }$とし，$xy$平面上の$4$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{S}$$(0,s)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,d)\text{，}$${\mathrm{D}}^{\prime }$$(0,d^{\prime })\text{，}$および，点$\mathrm{S}$を通る傾き$c$$\text{（}>0\text{）}$の直線$S\text{，}$点$\mathrm{D}$を通る傾き$-c$の直線$D\text{，}$点${\mathrm{D}}^{\prime }$を通る傾き$-c^{\prime }$$\text{（}<0\text{）}$の直線$D^{\prime }$を考えよう．点$\mathrm{D}\text{，}$直線$D$と直線$S$の交点$\mathrm{E}\text{，}$点$\mathrm{E}$から$y$軸に垂線を下ろし，その交点$\mathrm{P}$の$3$点からなる三角形を$\mathrm{▵DEP}$とする．また，点${\mathrm{D}}^{\prime }\text{，}$直線$D^{\prime }$と直線$S$の交点${\mathrm{E}}^{\prime }\text{，}$点${\mathrm{E}}^{\prime }$から$y$軸に垂線を下ろし，その交点${\mathrm{P}}^{\prime }$の$3$点からなる三角形を$\mathrm{▵}{\mathrm{D}}^{\prime }{\mathrm{E}}^{\prime }{\mathrm{P}}^{\prime }$とする．

1．$\mathrm{▵}{\mathrm{D}}^{\prime }{\mathrm{E}}^{\prime }{\mathrm{P}}^{\prime }$の面積が最大となるのは，点${\mathrm{E}}^{\prime }$の座標が$({\displaystyle \frac{\text{29}{d}^{\prime }-\text{30}s}{\text{31}c}},{\displaystyle \frac{\text{32}{d}^{\prime }+\text{33}s}{\text{34}}})\text{，}$$c^{\prime }=\text{35}c$のときである．

2．線分$\mathrm{OS}\text{，}$$\mathrm{SD}\text{，}$$\mathrm{D}{\mathrm{D}}^{\prime }$の長さが$\mathrm{OS}:\mathrm{SD}:\mathrm{D}{\mathrm{D}}^{\prime }=1:4:1$であるとする．このとき，$\mathrm{▵}{\mathrm{D}}^{\prime }{\mathrm{E}}^{\prime }{\mathrm{P}}^{\prime }$の面積が$\mathrm{▵DEP}$の面積以上になるのは，${\displaystyle \frac{\text{36}}{\text{37}}}c\leqq c^{\prime }\leqq \text{38}c$のときである．

【３】(1)　$5^x$と$8^y$のそれぞれの桁数を合計すると$13$桁になるような整数$x$と$y$（ただし，$x\text{，}$$y>1\text{）}$の組合せは，$\text{39}\text{40}$通りである．これらの組合せのうち，$x+y$が最小となる組合せ$(x,y)$は，$(\text{41},\text{42}\text{43})$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【３】(2)　大小$2$個のさいころを同時に投げるとき，大きいさいころの目を$\alpha \text{，}$小さいさいころの目を$\beta$とする．この$\alpha$と$\beta$を用いて

$A=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{\alpha }}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{\beta }}+\cos {\displaystyle \frac{\pi }{\alpha }}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{\beta }}$

を求めるとき，$A$が整数となる$\alpha$と$\beta$の組合せは$\text{44}$通りである．

【４】　太郎さんと花子さんは，外見が全く同じ$3$つの空の箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を使って，金貨を隠した箱を当てるゲームを次のような手順で行うことにした．