2024　青山学院大学　理工学部A方式

(1)　$5$人全員が自分の名札を受け取る確率は${\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}\text{3}\text{4}}}$である．

(2)　ちょうど$3$人が自分の名札を受け取る確率は${\displaystyle \frac{\text{5}}{\text{6}\text{7}}}$である．

(3)　ちょうど$2$人が自分の名札を受け取る確率は${\displaystyle \frac{\text{8}}{\text{9}}}$である．

(4)　自分の名札を受け取る人が$1$人もいない確率は${\displaystyle \frac{\text{10}\text{11}}{\text{12}\text{13}}}$である．

$C\text{：}y=f(x)$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

上の点$({\displaystyle \frac{\pi }{6}},f({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\left)\right)$における法線を$l$とする．

(1)　法線$l$の方程式は$y={\displaystyle \frac{\text{14}\text{15}}{\text{16}}}x+{\displaystyle \frac{\text{17}}{\text{18}}}\pi +{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{19}}}{\text{20}}}$である．

(2)　曲線$C$と$x$軸および法線$l$で囲まれた図形の面積は

$\log a+b$$(a={\displaystyle \frac{\text{21}\sqrt{\text{22}}}{\text{23}}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\text{24}}{\text{25}}})$

である．

(3)　(2)で定めた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は

${\displaystyle \frac{\text{26}\text{27}}{\text{28}}}{\pi }^2+{\displaystyle \frac{\text{29}\text{30}\sqrt{\text{31}}}{\text{32}\text{33}}}\pi$

である．

$x^2+px+q=0$$\cdots$(＊)

を考える．$2$次方程式(＊)が異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$をもち，かつ$\alpha \text{，}$$\beta$が

${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\leqq \beta \leqq 2\alpha$

を満たすとき，以下の問に答えよ．

(1)　点$(p,q)$のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$がさらに

$(\alpha +1)(\beta +1)\leqq 3$

を満たすとする．このとき，$p$の値が最小となるような$(p,q)$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$(p,q)$に対して，$2$次方程式(＊)の解$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよ．

$a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n+1=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．$b_n=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおくとき，以下の問に答えよ．

(1)　$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(2)　$b_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ．

(3)　$b_1$を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフを描け．

(2)　$k$を自然数とする．曲線$y={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$と$x$軸および$2$直線$x=k\text{，}$$x=k+1$で囲まれた図形の面積を$k$を用いて表せ．

(3)　無限級数

${\displaystyle \frac{1}{1^2+1}}+{\displaystyle \frac{2}{2^2+1}}+{\displaystyle \frac{3}{3^2+1}}$$+\cdots$$+{\displaystyle \frac{n}{n^2+1}}+\cdots$

の収束，発散を調べよ．