2024　青山学院大学　全学部日程理系

　はじめ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は両方とも原点$\mathrm{O}$にあるとし，上の操作を$3$回繰り返す．

(1)　$1$回目の操作後に$\mathrm{P}$が$2$にある確率は${\displaystyle \frac{\text{17}}{\text{18}\text{19}}}$である．

(2)　$2$回目の操作後に$\mathrm{P}$が$2$にあり$\mathrm{Q}$が$-1$にある確率は${\displaystyle \frac{\text{20}\text{21}}{\text{22}\text{23}\text{24}}}$である．

(3)　$2$回目の操作後に$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離がちょうど$2$である確率は${\displaystyle \frac{\text{25}}{\text{26}\text{27}}}$である．

(4)　$3$回目の操作後に$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離が$4$以上である確率は${\displaystyle \frac{\text{28}\text{29}\text{30}}{\text{31}\text{32}\text{33}}}$である．

$f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$

と定める．例えば$f_2(x)=f(f(x))\text{，}$$f_3(x)=f(f_2(x))$である．

(1)　$a=2\text{，}$$b=1$のとき，

$f_3(x)=\text{34}x+\text{35}\text{，}$$f_5(x)=\text{36}\text{37}x+\text{38}\text{39}$

である．

　以下，$f_n(x)$の$x$の係数を$a_n\text{，}$定数項を$b_n$と表す．

(2)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$b=3$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\text{40}\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\text{41}$が成り立つ．

(3)　$a=3\text{，}$$b=5$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}={\displaystyle \frac{\text{42}}{\text{43}}}$が成り立つ．

(4)　$f(0)=f_3(0)\text{，}$$f(0)\ne f_2(0)$のとき，$a=\text{44}\text{45}$である．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-6\log (x-1)+{\displaystyle \frac{3}{2}}$

(1)　関数$y=f(x)$は，$x=\text{46}$のとき最小値$\text{47}-\text{48}\log \text{49}$をとる．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$$(5,f(5))$における接線の方程式は

$y={\displaystyle \frac{\text{50}}{\text{51}}}x-{\displaystyle \frac{\text{52}}{\text{53}}}-\text{54}\text{55}\log \text{56}$

である．

(3)　曲線$y=f(x)\text{，}$直線$x=3\text{，}$$x=5$および$x$軸で囲まれた部分の面積は

${\displaystyle \frac{\text{57}\text{58}}{\text{59}}}-\text{60}\text{61}\log \text{62}$

である．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2-4\cos x& (0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})\\ a\sin x+b& ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}<x\leqq \pi )\end{array}$

で定める．$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$で連続であり，さらに微分可能とする．

(1)　$a=\text{63}\sqrt{\text{64}}\text{，}$$b=\text{65}\text{66}$である．

(2)　$f(x)=0$となるのは，$x={\displaystyle \frac{\text{67}}{\text{68}}}\pi$および${\displaystyle \frac{\text{69}}{\text{70}}}\pi$のときである．ただし，${\displaystyle \frac{\text{67}}{\text{68}}}<{\displaystyle \frac{\text{69}}{\text{70}}}$とする．

(3)　曲線$y=f(x)$の${\displaystyle \frac{\text{67}}{\text{68}}}\pi \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\text{69}}{\text{70}}}\pi$の部分と$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積は

$\text{71}\sqrt{\text{72}}-\text{73}\pi$

であり，$D$を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積は

$\text{74}\text{75}{\pi }^2-\text{76}\text{77}\sqrt{\text{78}}\pi$

である．