2024　自治医科大　看護学部

【１】[１]　$a$を正の実数とし，$A=\sqrt{a^2-6a+15}\text{，}$$A$の整数部分を$b\text{，}$小数部分を$c$とする．

(1)　$a=3$のとき，$b=\text{ア}$である．

(2)　$a=6$のとき，$b=\text{イ}$であり，$c^2+6c=\text{ウ}$である．

【１】[２]　$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{CA}=4$の三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{CA}$上に点$\mathrm{E}$を，三角形$\mathrm{DBC}$と三角形$\mathrm{EBC}$の面積が等しく，$\mathrm{BD}=1$となるようにとる．また，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．

　このとき，$\mathrm{CE}={\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FD}}}={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}$であり，三角形$\mathrm{CEF}$の面積は三角形$\mathrm{ABC}$の面積の${\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケコ}}}$倍である．

【１】[３]　ある町の$200$人に対して，$\mathrm{P}$新聞，$\mathrm{Q}$新聞，$\mathrm{R}$新聞という$3$種の新聞について，どの新聞を購読しているかを調査したところ，以下のような結果が得られた．

　$\mathrm{P}$新聞を購読している人が$105$人，$\mathrm{Q}$新聞を購読している人が$78$人，$\mathrm{R}$新聞を購読している人が$81$人いる．

　また，$3$種のうちのどの新聞も購読していない人が$23$人，$\mathrm{P}$新聞の購読者のうち$\mathrm{Q}$新聞を購読していない人が$69$人いる．

(1)　$\mathrm{Q}$新聞の購読者のうち$\mathrm{P}$新聞を購読していない人は$\text{サシ}$人いる．また，$\mathrm{P}$新聞と$\mathrm{Q}$新聞の一方または両方を購読している人は$\text{スセソ}$人いる．

(2)　$\mathrm{R}$新聞のみを購読している人は$\text{タチ}$人いる．

【２】　関数$f(x)=x^2+ax+3a+2$（ただし，$a$は実数の定数）を考える．

(1)　$x=t^2-4t$$\text{（}t$は実数）とおくとき，$x$は$t=\text{ア}$のとき，最小値$-\text{イ}$をとる．

(2)　$x$は$x\geqq -\text{イ}$の範囲を動くものとし，関数$f(x)$の最小値を$m$とすると，

$a\geqq \text{ウ}$のとき，$m=-a+\text{エオ}$

$a<\text{ウ}$のとき，$m=-{\displaystyle \frac{a^2}{\text{カ}}}+\text{キ}a+\text{ク}$

である．

　したがって，$m$は$a=\text{ケ}$のとき，最大値$\text{コサ}$をとる．

(3)　$f(x)=15$を満たす実数$x$の値として$x=p$と$x=q$$\text{（}p\ne q\text{）}$の$2$つが存在する．さらに，$p=t^2-4t$を満たす実数$t$が$1$つ，$q=t^2-4t$を満たす異なる実数$t$が$2$つ定まるものとする．

　このような$a$の値は，$a=\text{シ}$であり，$a=\text{シ}$のときに得られる$3$つの$t$の値は$\text{ス}\text{，}$$\text{セ}\pm \sqrt{\text{ソ}}$である．

【３】　一辺の長さが$3$の正三角形$\mathrm{ABC}$を辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{E}$を結ぶ線分$\mathrm{DE}$で折り返すと，点$\mathrm{A}$が辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{F}$に重なる．

(1)　$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\text{，}$$\mathrm{AE}={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}\text{，}$$\mathrm{DE}={\displaystyle \frac{\text{オ}\sqrt{\text{カキ}}}{\text{クケ}}}$である．

(2)　三角形$\mathrm{DEF}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{コサ}\sqrt{\text{シ}}}{\text{スセ}}}\text{，}$三角形$\mathrm{DEF}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\text{ソ}\sqrt{\text{タ}}}{\text{チツ}}}$である．

(3)　線分$\mathrm{DE}$と線分$\mathrm{AF}$の交点を$\mathrm{H}$とすると，$\mathrm{DH}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{テト}}}{\text{ナニ}}}$である．

【４】　森さんと夏目さんの$2$人を含む$6$人でじゃんけんを何回かする．ただし，負けた人はそれ以降のじゃんけんには参加しないものとする．

(1)　じゃんけんを$1$回して，森さんと夏目さんの$2$人だけが勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イウエ}}}\text{，}$森さんと夏目さんの両方を含むちょうど$3$人が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カキク}}}\text{，}$森さんと夏目さんのどちらか一方だけを含むちょうど$3$人が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コサ}}}$である．

(2)　じゃんけんを$1$回して，あいこになる確率は${\displaystyle \frac{\text{シスセ}}{\text{ソタチ}}}\text{，}$$3$種類の手がすべて出る確率は${\displaystyle \frac{\text{ツテ}}{\text{トナ}}}$である．

(3)　じゃんけんを$2$回するとき，$1$回目にちょうど$3$人が勝つという条件の下で，$2$回目に夏目さんだけが勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌネ}}}$である．