2024　自治医科大　医学科２次試験

【１】　曲線$C_1\text{：}y=a{x}^2$$\text{（}x$は実数，$a>0\text{，}$$a$は実数），曲線$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x$は実数，$x<0\text{），}$曲線$C_3\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x$は実数，$x>0\text{）}$について考える．

　$x<0$$\text{（}x$は実数）において，直線$l_1$は曲線$C_2$と点$\mathrm{P}$$(p,{\displaystyle \frac{1}{p}})$$\text{（}p$ は負の実数）で接し，曲線$C_1$と点$\mathrm{Q}$$(q,a{q}^2)$$\text{（}q$は負の実数）で接する．

　$x>0$$\text{（}x$は実数）において，直線$l_2$は曲線$C_3$と点$\mathrm{S}$$(s,-{\displaystyle \frac{1}{s}})$$\text{（}s$は正の実数）で接し，曲線$C_1$と点$\mathrm{R}$$(r,a{r}^2)$$\text{（}r$は正の実数）で接する．直線$l_1$と直線$l_2$の交点を$\mathrm{A}$とする．

　以下の設問に答えよ．

1)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$をそれぞれ$a$の式で表記せよ．

2)　点$\mathrm{A}$は$y$軸上に存在することを示すとともに，点$\mathrm{A}$の$y$座標を$a$の式で表記せよ．

3)　$\mathrm{▵AQR}$の面積が一定の値となることを示し，$\mathrm{▵AQR}$の面積を求めよ．

4)　$\mathrm{▵AQR}$が正三角形となるとき，$a$の値を求めよ．

5)　曲線$C_1$上の点$\mathrm{Q}$$(q,a{q}^2)$$\text{（}q$は負の実数）における法線を直線$l_3\text{，}$曲線$C_1$上の点$\mathrm{R}$$(r,a{r}^2)$$\text{（}r$は正の実数）における法線を直線$l_4$とする．直線$l_3$と直線$l_4$の交点を$\mathrm{B}$とし，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$と表記する．$\mathrm{\angle QAR}=120\mathrm{°}$であるとき，$\mathrm{▵QMA}$がどのような三角形になるのかを示すとともに，$\mathrm{▵QMA}$の面積を求めよ．