2024　自治医科大　医学科１次試験

【１】　整式$A\text{：}a{x}^3+b{x}^2+cx+d$$\text{（}a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は実数，$a\ne 0\text{）}$について考える．整式$A$を整式$x^2+x+1$で割ると，余りが$5x+7$であり，整式$A$を整式$x^2+1$で割ると，余りが$2x+3$となる．

　$a-b+c-d$の値を求めよ．

【２】　不等式${\log }_2(x-2)<5.5+{\log }_{0.5}(x-4)$を満たす整数$x$の個数を求めよ．

【３】　$N={\displaystyle \frac{k^2+k+300}{k^3+k^2+2k+2}}$$\text{（}k$は$0$以上の整数）について考える．

　$N$が自然数となるときのすべての$k$の値の和を$S$とする．$S$の値を求めよ．

【４】　$x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}=3$のとき，${\displaystyle \frac{x+x^{-1}}{2}}$の値を求めよ．

　ただし，$x$は実数，$x\ne 0$とする．

【５】　関数$y=|3x+6|+|x-2|$$\text{（}x$は実数）は$x=k$で最小値$m$をとる$\text{（}k\text{，}$$m$は実数）．

　$m-k$の値を求めよ．

【６】　複素数$z$が$|z-3i|=\sqrt{2}$$\text{（}{i}^2=-1\text{）}$を満たすとき，$|z-3|$の最大値，最小値をそれぞれ$M\text{，}$$m$とする．

　${\displaystyle \frac{M}{m}}$の値を求めよ．

【７】　実数$x\text{，}$$y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき，$5x^2+4xy+y^2$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．

　${\displaystyle \frac{{(M-m)}^2}{4}}$の値を求めよ．

【８】　$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．

　直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{▵ACR}$の面積は$\mathrm{▵AQR}$の面積の$k$倍となる．$k$の値を求めよ．

【９】　$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{AD}=2\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{AE}=1$である直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$（図を参照のこと）について考える．辺$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

　点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{GH}$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PM}}$の最小値を求めよ．

【10】　箱の中に赤いカードが$3$枚，白いカードが$5$枚入っている．箱から$1$枚のカードを取り出して，色を調べてから，もとに戻す試行を続けて$32$回行うこととする．赤いカードがちょうど$r$回出る確率を$P(r)$とする$\text{（}r$は整数，$0\leqq r\leqq 32\text{)．}$

　$P(r)$が最大となる$r$の値を$k$としたとき，${\displaystyle \frac{k}{3}}$の値を求めよ．

【11】　不等式$\cos 3\theta +2\cos 2\theta +2\cos \theta +1\geqq 0$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$を満たす$\theta$の範囲は，$a\leqq \theta \leqq b\text{，}$$c\leqq \theta \leqq d\text{，}$$e\leqq \theta \leqq f$と表記される．

　ただし，$0\leqq a<b<c<d<e<f\leqq 2\pi$とする．

　${\displaystyle \frac{c+d+e-f}{a+b}}$の値を求めよ．

【12】　$2$次方程式$x^2-x-1=0$の異なる$2$つの実数解をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$と表記する$\text{（}\alpha <\beta \text{）．}$${\displaystyle \frac{{\alpha }^{10}+{\beta }^{10}-3({\alpha }^7+{\beta }^7)}{12}}$の値を求めよ．

【13】　$x$がすべての実数値をとって変化するとき，関数$f(x)={\displaystyle \frac{6x-1}{2x^2+x+2}}$について考える．

　関数$f(x)$は$x=\alpha$で最小値$m\text{，}$$x=\beta$で最大値$M$をとる．

　$\alpha +\beta -5(M+m)$の値を求めよ．

【14】　曲線$C\text{：}{x}^2-xy+y^2=4$について考える$\text{（}x\text{，}$$y$は実数，$x\geqq 0\text{）．}$曲線$C$と$y$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．

　${\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\pi }}S$の値を求めよ．

【15】　次の文章を読み，以下の問い（問題$\text{15}\text{〜}$$\text{17}\text{）}$に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ．

　半径$3\sqrt{3}$の球に内接する円柱の体積を$V$とする．この円柱の底面の円の半径を$r\text{，}$高さを$2h$とする．ただし，$r$と$h$は実数とする．

Ⅰ　$r^2=\text{15}$となる．

Ⅱ　$V=-2\pi (\text{16})$となる．

Ⅲ　$V$は$h=k$のとき，最大値$M$をとる．

　$\sqrt{{\displaystyle \frac{M}{\pi k}}}$の値は$\text{17}$となる．

【16】　次の文章を読み，以下の問い（問題$\text{18}\text{〜}$に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ．

　$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{4a_n-9}{a_n-2}}$$\text{（}n$は自然数）を満たす数列$\{a_n\}$について考える．

Ⅰ　方程式$x={\displaystyle \frac{4x-9}{x-2}}$$\text{（}x$は実数，$x\ne 2\text{）}$の実数解を$k$とする．

　$k=\text{18}$となる．

Ⅱ　Ⅰで定めた$k$に対して，${\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}-k}}={\displaystyle \frac{1}{a_n-k}}+\text{19}$$\text{（}n$は自然数）が成立する．

Ⅲ　数列$\{a_n\}$の一般項は$\text{20}$$\text{（}n$は自然数）となる．

【17】　次の文章を読み，以下の問い（問題$\text{21}\text{〜}$$\text{25}\text{）}$に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ．

　関数$f(x)=x^3-12x^2-99x-70$について考える．曲線$C\text{：}y=f(x)$に点$\mathrm{P}$$({\displaystyle \frac{35}{4}},-1280)$から引いた接線のうち，接点の$x$座標が曲線$C$の変曲点$\mathrm{K}$の$x$座標より大きい接線は$2$本（接線$l_1$および$l_2\text{）}$存在する．ただし，変曲点$\mathrm{K}$の$x$座標を$t$$\text{（}t$は実数）とする．

　$2$本の接線を$l_1\text{：}y=m_{1}x+b_1$$\text{（}{m}_1\text{，}$$b_1$は実数），$l_2\text{：}y=m_{2}x+b_2$$\text{（}{m}_2\text{，}$$b_2$は実数）と表記する$\text{（}{m}_1<m_2\text{）．}$

Ⅰ　曲線$C$の変曲点$\mathrm{K}$の$x$座標は$t=\text{21}$となる．

Ⅱ　$2$本の接線$l_1\text{，}$$l_2$において，$b_1=\text{22}$となる．

　$b_2=\text{23}$となる．

Ⅲ　$\left|{\displaystyle \frac{m_1+m_2}{24}}\right|$の値は$\text{24}$となる．

Ⅳ　曲線$C$の$x\geqq t$の部分と$2$本の接線$l_1\text{，}$$l_2$で囲まれた部分の面積を$S$とする．

　$\sqrt{{\displaystyle \frac{2S}{39}}}$の値は$\text{25}$となる．